2021届高考数学考向击破（文理通用）专题4.6 正余弦定理（解析版）.docx

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1、4.6正余弦定理考向一正余弦定理【例1】（1）（2019·北京高考模拟）在中，所对应的边分别为,若，则等于（）A．B．C．或D．或（2）（2019·山东高考模拟）在中，角，，的对边分别为，，，若，，则角（）A．B．C．D．【答案】（1）C（2）D【解析】（1）因为在中，，由正弦定理可得，所以，所以或，因此或.故选C。（2）∵，，∴，∴，∴，由正弦定理可得：，∵，∴，即：，∵，∴.故选：D．【方法总结】1．求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积

2、，代入公式求面积．(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．2．已知三角形面积求边、角的方法(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解．(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解【举一反三】1．（2019·山东高考模拟）在中，角，，的对边分别是，，，，，，则的面积为______．【答案】6【解析】在中，由正弦定理知，又，,即，，；，又，，．故答案为：6．2．（2019·全国高考真题）△AB

3、C的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB=4csinC，cosA=－，则=（）A．6B．5C．4D．3【答案】A【解析】由已知及正弦定理可得，由余弦定理推论可得，故选A．3．（2018·全国高考真题）△ABC的内角A ，  B ，  C的对边分别为a ，  b ，  c，已知bsinC+csinB=4asinBsinC，b2+c2-a2=8，则△ABC的面积为________．【答案】233.【解析】因为bsinC+csinB=4asinBsinC，结合正弦定理可得sinBsinC+sinC

4、sinB=4sinAsinBsinC，可得sinA=12，因为b2+c2-a2=8，结合余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，可得2bccosA=8，所以A为锐角，且cosA=32，从而求得bc=833，所以△ABC的面积为S=12bcsinA=12⋅833⋅12=233，故答案是233.考向二正余弦定理运用【例2】(1)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状为(　　)A．直角三角形B．等腰非等边三角形C．等边三角形D．钝角三角形（2）在△AB

5、C中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是(　　)A．有一解B．有两解C．无解D．有解但解的个数不确定（3）（2019·江苏高考模拟）在中，已知边上的中线，且，，成等差数列，则的长为________.【答案】（1）C（2）C（3）【解析】(1)因为＝，所以＝，所以b＝c.又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，所以b2＋c2－a2＝bc，所以cosA＝＝＝.因为A∈(0，π)，所以A＝，所以△ABC是等边三角形．（2）由正弦定理得＝，∴sinB＝＝＝>1.∴角

6、B不存在，即满足条件的三角形不存在．（3）因为，，成等差数列，所以，即，所以，由正弦定理可得，又由余弦定理可得，所以，故，又因为边上的中线，所以，因为，所以，即，解.即的长为.故答案为【举一反三】1．（2019·安徽省涡阳第一中学）在中，如果，，，则此三角形有（）A．无解B．一解C．两解D．无穷多解【答案】C【解析】由题意得，则，因此，该三角形有两解，故选：C.2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若直线bx+ycosA+cosB=0,ax+ycosB+cosA=0平行，则△ABC一定是（）A.锐角三

7、角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰或者直角三角形【答案】C【解析】解法一：由两直线平行可得bcosB-acosA=0由正弦定理可知sinBcosB-sinAcosA=0，即12sin2A=12sin2B又A,B∈(0,π)，且A+B∈(0,π)所以2A=2B或2A＋2B=π，即A=B或A+B=π2.若A=B，则a=b，cosA=cosB，此时两直线重合，不符合题意，舍去故A+B=π2，则△ABC是直角三角形故选C.解法二：由两直线平行可得bcosB-acosA=0，由余弦定理得a⋅b2+c2-a22bc=b⋅a2

8、+c2-b22ac所以a2b2+c2-a2=b2a2+c2-b2所以c2a2-b2=a2+b2a2-b2所以a2-b2a2+b2-c2=0所以a=b或a2+b2=c2若a=b，则两直线重合，不符合题意，故a2+b2=c2则△ABC是直角三角形故选C.3．（2017·江西高三）若满足， =3，恰有一解，则实数的取值范围是______