冲刺2021届高考数学考向击破（文理通用）专题8.8最值问题（解析版）.docx

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1、8.8最值【例1】．（2019·辽宁高考模拟（理））已知点在椭圆上，，是长轴的两个端点，且．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）已知点，过点的直线与椭圆的另一个交点为，若点总在以为直径的圆内，求直线的斜率的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）由已知可得，解得，又点在椭圆上，即，解得，所以椭圆的标准方程为；（Ⅱ）设，当直线垂直于轴时，点在以为直径的圆上，不合题意，因此设直线的方程为，代入椭圆方程消去得，则有，即，，且判别式，即，又点总在以为直径的圆内，所以必有，即有，将，代入得，解得，所以满足条件的

2、直线的斜率的取值范围是．【举一反三】（2019·河北省衡水市第十三中学高考模拟（理））已知点是圆：上的一动点，点，点在线段上，且满足.（1）求点的轨迹的方程；（2）设曲线与轴的正半轴，轴的正半轴的交点分别为点，，斜率为的动直线交曲线于、两点，其中点在第一象限，求四边形面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由题意，，∴.∴，∴点的轨迹是以点，为焦点且长轴长为6的椭圆，即，，∴，，∴.即点的轨迹的方程为.（2）由（1）可得，.设直线的方程为，由点在第一象限，得，，，由，得，则，，，点到直线的距

3、离为，点到直线的距离为，∴四边形面积，又，∴当时，取得最大值.即四边形面积的最大值为.1．（2018·河南高考模拟（理））已知两动圆和（），把它们的公共点的轨迹记为曲线，若曲线与轴的正半轴的交点为，且曲线上的相异两点满足：.（1）求曲线的轨迹方程；（2）证明直线恒经过一定点，并求此定点的坐标；（3）求面积的最大值.【答案】（1）；（2）见解析；（3）.【解析】（1）设两动圆的公共点为，则有：．由椭圆的定义可知的轨迹为椭圆，，，所以曲线的方程是：；（2）由题意可知：，设，，当的斜率存在时，设直线，联立方程

4、组：，把②代入①有：，③，④，因为，所以有，，把③④代入整理：，（有公因式）继续化简得：，或（舍），当的斜率不存在时，易知满足条件的直线为：过定点，综上，直线恒过定点；（3）面积，由第（2）小题的③④代入，整理得：，因在椭圆内部，所以，可设，，，（时取到最大值）．所以面积的最大值为．2．（2018·河北衡水中学高考模拟（理））如图，设抛物线的准线与轴交于椭圆的右焦点为的左焦点.椭圆的离心率为，抛物线与椭圆交于轴上方一点，连接并延长其交于点，为上一动点，且在之间移动.（1）当取最小值时，求和的方程；（2）

5、若的边长恰好是三个连续的自然数，当面积取最大值时，求面积最大值以及此时直线的方程．【答案】（1）（2）的面积最大值为．此时．【解析】（1）因为，则，所以取最小值时，此时抛物线，此时，所以椭圆的方程为；（2）因为，则，设椭圆的标准方程为，由得，所以或（舍去），代入抛物线方程得，即，于是，又的边长恰好是三个连续的自然数，所以．此时抛物线方程为，，则直线的方程为．联立，得或（舍去），于是．所以，设到直线的距离为，则，当时，，所以的面积最大值为．此时．3．（2019·浙江高考模拟）对于椭圆，有如下性质：若点是椭

6、圆外一点，，是椭圆的两条切线，则切点所在直线的方程是，利用此结论解答下列问题：已知椭圆和点，过点作椭圆的两条切线，切点是，记点到直线（是坐标原点）的距离是，（Ⅰ）当时，求线段的长；（Ⅱ）求的最大值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）因为点，直线的方程式：，即，当时，直线的方程是，此时.（Ⅱ）由（Ⅰ）知直线的方程是，直线的方程是.设，，则.又由点在直线的两侧可得与异号，所以.又，所以.设，则，所以，当，即时，有最大值为4．（2018·黑龙江高考模拟（理））设直线与抛物线交于，两点，与椭圆交于，两点，直线

7、，，，（为坐标原点）的斜率分别为，，，，若.（1）是否存在实数，满足，并说明理由；（2）求面积的最大值.【答案】(1)答案见解析；(2).【解析】设直线方程为，，，，，联立和，得，则，，.由，所以，得.联立和，得，所以，.由，得.（1）因为，，所以.（2）根据弦长公式，得：.根据点到直线的距离公式，得，所以，设，则，所以当，即时，有最大值.5．（2019·天津高考模拟（理））已知椭圆的离心率为，两焦点与短轴的一个端点的连线构成的三角形面积为.(I)求椭圆的方程;(II)设与圆相切的直线交椭圆于,两点(为

8、坐标原点)，的最大值.【答案】I.；Ⅱ.2【解析】I.由题设：两焦点与短轴的一个端点的连线构成的三角形面积为，解得∴椭圆C的方程为Ⅱ.设1.当ABx轴时，2.当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为由已知，得设三角形OAB的高为h即圆的半径,直线和圆的切点为M点，根据几何关系得到：=，把代入椭圆方程消去y，整理得,有得AB2=1+k2x1-x22=1+k236k2m23k2+12-12m2-13k2+1=12k2+13k2+1-m23k2+