第2章 时域离散信号和系统的频域分析.ppt

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1、第2章时域离散信号和系统的频域分析2.1引言2.2序列的傅里叶变换的定义及性质2.3周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式2.4时域离散信号的傅里叶变换与模拟信号傅里叶变换之间的关系2.5序列的Z变换2.6Z变换分析信号和系统的频域特性2.1引言我们知道信号和系统的分析方法有两种，即时域分析方法和频率分析方法。在模拟领域中，信号一般用连续变量时间t的函数表示，系统则用微分方程描述。为了在频率域进行分析，用拉普拉斯变换和傅里叶变换将时间域函数转换到频率域。而在时域离散信号和系统中，信号用序列表示，其自变量仅取整数，非整数时无定义，而系统则用差分

2、方程描述。频域分析是用Z变换或傅里叶变换这一数学工具。其中傅里叶变换指的是序列的傅里叶变换，它和模拟域中的傅里叶变换是不一样的，但都是线性变换，很多性质是类似的。本章学习序列的傅里叶变换和Z变换，以及利用Z变换分析系统和信号频域特性。本章学习内容是本书也是数字信号处理这一领域的基础。2.2序列的傅里叶变换的定义及性质2.2.1序列傅里叶变换的定义定义(2.2.1)为序列x(n)的傅里叶变换，可以用FT(FourierTransform)缩写字母表示。FT成立的充分必要条件是序列x(n)满足绝对可和的条件，即满足下式：(2.2.2)为求FT的反变换，

3、用ejωn乘(2.2.1)式两边，并在-π~π内对ω进行积分，得到(2.2.3)(2.2.4)式中因此上式即是FT的逆变换。(2.2.1)和(2.2.4)式组成一对傅里叶变换公式。(2.2.2)式是FT存在的充分必要条件，如果引入冲激函数，一些绝对不可和的序列，例如周期序列，其傅里叶变换可用冲激函数的形式表示出来，这部分内容在下面介绍。例2.2.1设x(n)=RN(n)，求x(n)的FT解：(2.2.5)设N=4，幅度与相位随ω变化曲线如图2.2.1所示。图2.2.1R4(n)的幅度与相位曲线2.2.2序列傅里叶变换的性质1.FT的周期性在定义(2

4、.2.1)式中，n取整数，因此下式成立M为整数(2.2.6)因此序列的傅里叶变换是频率ω的周期函数，周期是2π。2.线性那么设(2.2.7)3.时移与频移设X(ejω)=FT［x(n)］，那么(2.2.8)(2.2.9)式中a,b为常数则称xe(n)为共轭对称序列。为研究共轭对称序列具有什么性质，将xe(n)用其实部与虚部表示4.FT的对称性设序列xe(n)满足下式：(2.2.10)将上式两边n用-n代替，并取共轭，得到对比上面两公式，左边相等，因此得到(2.2.11)(2.2.12)由上面两式得到共轭对称序列其实部是偶函数，而虚部是奇函数。类似地

5、，可定义满足下式的称共轭反对称序列(2.2.13)将x0(n)表示成实部与虚部如下式：可以得到(2.2.14)(2.2.15)即共轭反对称序列的实部是奇函数，而虚部是偶函数。例2.2.2试分析x(n)=ejωn的对称性解：将x(n)的n用-n代替，再取共轭得到：x*(-n)=ejωn因此x(n)=x*(-n)，满足(2.2.10)式，x(n)是共轭对称序列，如展成实部与虚部，得到x(n)=cosωn+jsinωn由上式表明，共轭对称序列的实部确实是偶函数，虚部是奇函数。对于一般序列可用共轭对称与共轭反对称序列之和表示，即x(n)=xe(n)+xo(

6、n)(2.2.16)式中xe(n),xo(n)可以分别用原序列x(n)求出。将(2.2.16)式中的n用-n代替，再取共轭得到x*(-n)=xe(n)-xo(n)(2.2.17)利用(2.2.16)和(2.2.17)两式，得到(2.2.18)(2.2.19)(2.2.23)(2.2.24)对于频域函数X(ejω)也有和上面类似的概念和结论：(2.2.20)式中,Xe(ejω)与Xo(ejω)分别称为共轭对称部分和共轭反对称部分，它们满足同样有下面公式满足：(2.2.21)(2.2.21)(a)将序列x(n)分成实部xr(n)与虚部xi(n)x(n)

7、=xr(n)+jxi(n)将上式进行FT，得到式中上面两式中，xr(n)和xi(n)都是实数序列，容易证明Xe(ejω)满足(2.2.21)式，具有共轭对称性，它的实部是偶函数，虚部是奇函数。Xo(ejω)满足(2.2.22)式，具有共轭反对称性质，其实部是奇函数，虚部是偶函数。最后得到结论：序列分成实部与虚部两部分，实部对应的FT具有共轭对称性，虚部和j一起对应的FT具有共轭反对称性。(b)将序列分成共轭对称部分xe(n)和共轭反对称部分xo(n)，即x(n)=xe(n)+xo(n)(2.2.25)将(2.2.18)式和(2.2.19)式重定如下

8、：上式表示序列的共轭对称部分xe(n)的FT对应着原序列FT的实部XR(ejω)，而序列的共轭反对称部分xo(n)的FT对