时域离散信号和系统的频域分析(I)

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1、第二章时域离散信号和系统的频域分析本章内容：2.1引言2.2时域离散信号的傅里叶变换2.3时域离散信号的Z变换2.4利用Z变换对信号和系统进行分析2.1引言信号、系统分析信号在时间分布上的特性和运算：直观，物理概念会比较的清楚。分析信号在频率分布上的特性和运算：这给了我们换个视角观察信号的机会，我们会发现许多在时间域上得不到的特性和运算。时间域频率域FT、ZTIFT、IZT返回2.2时域离散信号的傅里叶变换返回2.2.1时域离散信号的傅里叶变换的定义2.2.2周期信号的离散傅里叶级数2.2.3周期

2、信号的傅里叶变换2.2.4时域离散信号傅里叶变换的性质2.2.1时域离散信号的傅里叶变换的定义定义为时域离散信号x(n)的傅里叶变换，简称FT(FourierTransform)。上式成立的条件是序列绝对可和，或者说序列的能量有限，即满足下面的公式：对于不满足上式的信号，可以引入奇异函数，使之能够用傅里叶变换表示出来。(2.2.1)回到本节返回离散信号FT和模拟信号FT的比较：离散信号FT模拟信号FT可以发现二者的实质是一样的，都是完成时间域频域的转换，不同处：时间变量：n取整数，求和运算；t取连续变

3、量，积分运算。频域变量：ω是数字频率的连续变量，以2π为周期；Ω是模拟频率的连续变量，无周期性。回到本节返回2.2.2周期信号的离散傅里叶级数设是以N为周期的周期序列，具有周期性，能够展成傅里叶级数，即：式中，ak是离散傅里叶级数的系数。为求系数ak，将上式两边乘以，并对n在一个周期N中求和，得到：(2.2.5)回到本节返回将上式右边的两个求和号交换位置，得到：式中回到本节返回因此得到上式中,k和n均取整数，当k变化时，是周期为N的周期函数，所以ak是以N为周期的周期序列，即ak=ak+ln令将式(2

4、.2.7)代入上式，得到这里是以N为周期的周期序列。一般简称为的离散傅里叶级数系数，用DFS(DiscreteFrourierSeries)表示，即。(2.2.7)(2.2.10)(2.2.9)回到本节返回由式(2.2.5)和式(2.2.9)，我们能够得到将式(2.2.7)和式(2.2.10)写在一起，成为离散傅里叶级数对。这里和均是周期为N的序列。(2.2.11)返回回到本节2.2.3周期信号的傅里叶变换复指数序列的傅里叶变换表达式在模拟系统中，的傅里叶变换是在处的一个冲激，强度为2π，即对于时域离

5、散系统中的复指数序列，仍假设它的傅里叶变换是在处的一个冲激，强度为2π，考虑到时域离散信号傅里叶变换的周期性，因此的傅里叶变换应写为：回到本节返回一般周期序列的傅里叶变换假设的周期为N，将它用傅里叶级数来表示，即上式的求和号中的每一项都是复指数序列，其中第K项即为第K次谐波的傅里叶变换根据其周期性能够表示为：返回回到本节周期序列由N次谐波组成，因此它的傅里叶变换可以表示成式中，k=0,1,2,…,N-1,r=-3,-2,-1,0,1,2,…以N为周期，而r变化时，δ函数变化2πr，因此如果让k在(-∞

6、,∞)变化，上式可以简化为上式就是一般周期序列的傅里叶变换表达式。教材中表2.2.1列举了基本序列的傅里叶变换对。返回回到本节例2.1：令，为有理数，求其傅里叶变换。解:将用欧拉公式展开为由得余弦序列的傅里叶变换为返回回到本节上式表明，余弦信号的傅里叶变换是在处的冲激函数，强度为，同时以2为周期进行周期性延拓，如下图所示。对于正弦序列，为有理数，它的傅里叶变换为回到本节返回2.2.4时域离散信号傅里叶变换的性质时域离散信号傅里叶变换有很多重要的性质，其中一些性质和模拟信号的傅里叶变换性质类似，参考

7、教材中表2.2.2。本小节重点介绍：傅里叶变换的周期性频域卷积定理傅里叶变换的对称性回到本节返回傅里叶变换的周期性：频域卷积定理：假设，，则交换积分的求和次序，我们同样能够得到该定理表明在时域两序列相乘，转换到频域服从卷积关系。此定理亦称为调制定理回到本节返回傅里叶变换的对称性：一般不做特殊说明，序列x(n)就是复序列。用下标r表示它的实部，用下标i表示它的虚部：复序列中有共轭对称序列和反共轭对称序列，分别用下标e和o表示共轭对称序列满足复反共轭对称序列满足回到本节返回一般序列傅里叶变换的对称性质一般

8、序列可以表示为其实部的傅里叶变换可以用下式来表示将上式右面的ω加负号，在将右边取共轭，右边表达式不变，这说明实序列的傅里叶变换具有共轭对称性质，可以用表示。很容易证明，将j乘以实数序列的傅里叶变换具有共轭反对称性质，用表示。返回回到本节这样式中这样我们能够得到结论：一般序列的傅里叶变换分成共轭对称分量和共轭反对称分量两部分，其中共轭对称分量对应序列的实部，而共轭反对称分量对应这序列的虚部（包括j）。返回回到本节如果将序列分为共轭对称和共轭反对称两部分，即