时域离散信号和系统的频域分析(续)-庄

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1、2.4利用Z变换对信号和系统进行分析一、序列的FT和z变换之间的关系z=ejω的含义：表示在z平面上r=1的圆，称为单位圆。结论:(1)单位圆上的z变换就是序列的傅里叶变换。(2)已知序列的z变换求其的FT的条件是：收敛域中包含单位圆。补充二、序列的z变换与模拟信号的拉普拉斯变换的关系1、采样信号的拉氏变换与序列的Z变换之间的映射关系(1)设xa(t)的采样信号表示为:(2)对采样信号进行拉氏变换：设：S=j，Z=rejwr=eTs和z之间的映射关系分析：ω=TZ=eST<0时，S平面的左半平面映射到Z平面的单

2、位圆内(r=

3、z

4、<1)=0时，S平面的虚轴映射到Z平面的单位圆周上(r=

5、z

6、=1)>0时，S平面的右半平面映射到Z平面的单位圆外(r=

7、z

8、>1)r=eTj0S平面1Re(z)jIm(z)0Z平面单位圆外部r>1右半平面σ>0单位圆内部r<1左半平面σ<0单位圆r=1虚轴σ=0Z平面S平面=0（s平面实轴）对应于ω=0（z平面正实轴）；=0对应于ω=0T（z平面一条辐射线）；由-π/T变到π/T，对应于ω由-π变到π；j虚轴上每2/T段都对应着单位圆一周j0-/T3/T-3/T/TS平

9、面1Re(z)jIm(z)0Z平面ω=Ts平面到z平面的映射是多值映射。ω=0正实轴零频ω=Ω0T辐射线角度ω:ω:Ω=0实轴零频Ω=Ω0平行直线频率ΩΩ:Z平面S平面将s=jΩ代入上式，得：2、模拟信号的拉氏变换与采样信号的拉氏变换之间的关系总结:采样信号与模拟信号之间的关系采样信号的频谱与模拟信号频谱之间的关系模拟信号的拉斯变换与其FT之间的关系采样信号拉斯变换与模拟信号拉斯变换的关系序列Z变换与采样信号拉斯变换的关系序列FT与ZT的关系2.4利用Z变换对信号和系统进行分析Z变换域分析的意义便于考察信号、系统的特征便于

10、系统的分析与设计比傅立叶变换的应用范围广2.4.1系统的传输函数和系统函数系统的时域描述－单位脉冲响应h(n)系统的传输函数系统的传输函数的意义（1）输出同频序列幅度受频率响应幅度加权相位为输入相位与系统相位响应之和()0w输出信号的频谱取决于输入信号的频谱特性和系统的传输函数成为系统的频率相应函数设计不同的频率相应函数，实现对信号的放大、滤波、相位均衡等功能。系统的传输函数的意义（2）系统函数定义表征系统的复频域特性如果H(z)的收敛域包含单位圆，则序列的傅立叶变换存在系统的传输函数是系统单位脉冲响应在单位圆上的Z变换，有

11、时亦将系统函数称为传输函数2.4.2根据系统函数极点的分布分析系统的因果性和稳定性系统的差分方程表示Z变换，得系统函数因式分解A影响输出信号的幅度是的零点，是的极点；零极点分布将影响系统的频率特性极点分布影响系统的因果性和稳定性因果性单位脉冲响应是因果序列，其Z变换的收敛域为因果序列Z变换的极点在以为半径的圆内结论：因果序列Z变换的极点均集中在某个圆内；收敛域如下，包含。稳定性稳定：系统稳定：系统函数的收敛域包含单位圆；系统函数的极点不在单位圆上序列h(n)绝对可和，即h(n)的z变换Z变换的收敛域：因果稳定系统：系统函数

12、的极点在单位圆内系统稳定的充要条件：其H(z)的收敛域包含单位圆系统因果的充要条件：其H(z)在处也收敛；系统既因果又稳定的条件：H(z)的收敛域为：，即系统函数的全部极点必须在单位圆内。解：系统的极点为（1）收敛域取收敛域包含，是因果系统收敛域不包含单位圆，系统不稳定单位脉冲响应为（2）收敛域取收敛域不包含，不是因果系统收敛域包含单位圆，系统稳定单位脉冲响应为（3）收敛域取收敛域不包含，不是因果系统收敛域不包含单位圆，系统不稳定单位脉冲响应为2.4.3用Z变换求解系统的输出响应递推法：已知差分方程、初始条件，递推求解差分方

13、程卷积Z变换Matlab1.零状态响应与零输入响应移位序列的Z变换系统的差分方程Z变换第一项与系统和输入信号有关，与初始状态无关系统的零状态响应第二项与系统和初始状态有关，与输入信号无关系统的零输入响应系统的响应全响应＝系统的零输入响应＋系统的零状态响应例2.4.2已知系统的差分方程为输入信号为，初始条件为求系统的输出。解：对输入信号和差分方程进行Z变换收敛域取：代入初始条件及输入系统输出：2.稳态响应和暂态响应系统的零状态响应系统的时域零状态响应系统的稳态响应如果系统不稳定，将会无限制的增长，和输入信号无关如果系统稳定，将

14、取决于输入信号和系统的频率特性。例零状态响应展为部分分式如系统稳定，H(z)的极点在单位圆内，第二部分所对应的序列收敛,，这部分序列趋于0。稳态响应为稳态响应与系统的输入信号和频率特性有关如系统不稳定，H(z)的部分获全部极点在单位圆外，第二部分所对应的序列发散,，这部分序列趋于无限大。系