时域离散信号和系统的频域分析(II)

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1、第二章离散时间信号和系统的频域分析信号和系统的分析方法信号和系统的分析方法：时域、频域（变换域）时域分析：对信号进行(t)/(n)分解，求系统h(t)/h(n)，再卷积…变换域分析连续时间信号与系统：Y=FHLaplace变换Y(S)=H(S)F(S)Fourier变换Y(j)=H(j)F(j)离散时间信号与系统：Z变换Y(z)=H(z)X(z)Fourier变换Y(ej)=H(ej)X(ej)第一章复习了时域离散系统分析方法，本章复习变换域分析方法第二章学习目标学习序列的傅里叶变换和Z变换。了解周期序列的Fourier级数及性质。深入掌握Z变换分析方法理解

2、Z变换与Laplace/Fourier变换的关系掌握几种特殊系统的系统函数及其特点2.2序列的傅里叶变换2.2.1时域离散信号傅里叶变换的定义序列的傅里叶变换的定义：可以用缩写字母DTFT或FT(FourierTransform)表示。FT[x(n)]成立的充分条件是序列x(n)绝对可和，即对不满足此条件的周期序列放在下面章节讨论。(2.2.1)(2.2.2)FT的反变换：用ejωn乘(2.2.1)式两边，并在-π~π内对ω进行积分，得到(2.2.3)(2.2.4)式中因此sincagain=0unlessn=lSinc函数=1whenx=0=0whenx=r·p,r≠0,r=±1,±2

3、,±3,...∆例2.2.1设x(n)=RN(n)，求x(n)的FT设N=4，幅度与相位随ω变化曲线如图2.2.1所示。图2.2.1R4(n)的幅度与相位曲线2.2.2序列傅里叶变换的性质1、FT的周期性M为整数(2.2.6)序列的傅里叶变换是频率ω的周期函数，周期是。这样X(ejω)可以展成傅里叶级数。表示了信号在频域的分布规律。在点上表示序列的直流分量，代表的是最高频率信号。周期性图2.2.2cosn的波形。a)直流；b)最高频率结论：由于FT的周期是2π，一般只分析－π~＋π之间或0~2π范围的FT就够了2、线性那么设(2.2.6)a,b为常数线性性＝齐次性＋可加性可加性：和的

4、变换＝变换的和齐次性：扩大a倍后再求变换＝变换后再扩大a倍3、时移与频移信号延迟n0时间＝每个频率分量相位延迟n0每个频率分量增加0＝频谱右移0(2.2.7)(2.2.8)4、FT的对称性定义：共轭对称序列：共轭反对称序列：(1)当序列是实数序列时，变为偶函数和奇函数(2)当序列是虚数序列时，将xe(n)用其实部与虚部表示共轭对称序列共轭对称序列：实部是偶函数，虚部是奇函数。共轭反对称序列共轭反对称序列：实部是奇函数虚部是偶函数。例试分析x(n)=ejωn的对称性解：将x(n)的n用-n代替，再取共轭得：x*(-n)=ejωnx(n)=x*(-n)x(n)是共轭对称序列。如展成实

5、部与虚部，得x(n)=cosωn+jsinωn由上式表明，共轭对称序列的实部确实是偶函数，虚部是奇函数。任意序列可用共轭对称序列xe(n)与共轭反对称序列xo(n)之和表示，即x(n)=xe(n)+xo(n)其中：同样，频域函数X(ejω)也可以分解成：X(ejω)=Xe(ejω)+Xo(ejω)其中：为其共轭对称部分和共轭反对称部分满足：FT的对称性根据上述定义，下面研究FT的对称性(a)将序列x(n)分成实部xr(n)与虚部xi(n)x(n)=xr(n)+jxi(n)将上式进行FT，得：X(ejω)=Xe(ejω)+Xo(ejω)式中因为xr(n)和xi(n)都是实数序列，则：Xe(

6、ejω)具有共轭对称性实部是偶函数，虚部是奇函数。Xo(ejω)具有共轭反对称性质实部是奇函数，虚部是偶函数。结论：序列分成实部与虚部两部分实部的FT具有共轭对称性虚部的FT乘j具有共轭反对称性。(b)将序列分成共轭对称部分xe(n)和共轭反对称部分xo(n)，即x(n)=xe(n)+xo(n)对两式分别进行FT，得结论：序列分成共轭对称部分xe(n)与共轭反对称部分xo(n)两部分。序列的共轭对称部分xe(n)对应着FT的实部XR(ejω)，而序列的共轭反对称部分xo(n)对应着FT的虚部序列Fourier变换的对称性质实因果序列h(n)的对称性h(n)是实序列，故其FT只有共轭对称部

7、分He(ejω)，共轭反对称部分为零。实序列h(n)的FT的实部是偶函数，虚部是奇函数：同理：模的平方是偶函数；相位函数是奇函数。因为其中：由于h(n)是实因果序列，he(n)和ho(n)可以用下式表示：按照上面两式，实因果序列h(n)可以分别用he(n)和ho(n)表示为:式中：例2.2.3x(n)=anu(n);0