时域离散信号和系统的频域分析

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1、--第二章时域离散信号和系统的频域分析教学目的要求l掌握序列的傅里叶变换；l掌握Z变换的定义；l了解序列特性对收敛域的影响；l了解Z变换的性质；l掌握逆Z变换；l能利用Z变换分析信号与系统的频域特性。教学重点和难点重点：序列的Z变换、序列傅里叶变换、利用Z变换分析信号与系统的频域特性。难点：逆Z变换、序列的Z变换与傅里叶变换的关系、利用Z变换分析信号与系统的频域特性。2.1引言1、分析方法：l信号与系统的分析方法时域分析频域分析l模拟领域：信号一般用连续变量时间t的函数表示，系统用微分方程。l时域离散系统：信号用序列表示，系统用差分方程描述，频率分

2、析采用Z变换或傅里叶变换作为工具。2－372.2序列的傅里叶变换和定义及性质1、序列傅里叶变换的定义（1）定义：为序列的傅里叶变换，用FT(FowrierTransform)缩写字母表示。（2）FT成立的充分条件是满足绝对可和，即满足下式（3）FT的逆变换例2.2.1设，求的FT。解：设N=4，幅度与相位随w变化曲线如图2.2.1所示，例2　计算的傅里叶变换。解：2－372、序列傅里叶变换的性质（1）FT的周期性，其中M为整数，则x(n)的FT是以为周期的关于w的函数。由于FT的周期性，一般只分析之间或之间的FT。注意：在点上表示x(n)信号的直流

3、分量，离这些点越远其频率应越高，但又以为周期。（2）傅里叶变换的线性设则（3）时移和频移设，那么　　　　　　　　　　　（4）傅里叶变换的对称性①　共轭对称序列的定义共轭对称序列：满足，称为共轭对称序列。对于实序列。为研究共轭对称，将写成实部和虚部的形式如下：　　　　　　　　　　　　　(1)对式（1）用-n代n，并对两边取共轭得：　　　　　　　　　　　(2)联立（1）、（2），又因，得：　　　　②共轭反对称序列的定义共轭反对称序列：满足，称为共轭反对称序列，对于实数为研究共轭反对称，将写成实部和虚部形式如下：2－37　　　　　　　　　　　　(3)对(

4、3)式用-n代n，并两边取共轭得：　　　　　　　　　　(4)又因可得：　③任何序列可表示为共轭对称和共轭反对称序列之和，即：　(5)求出和的表达式。解：对（5）用-n代n，并求共轭得：　　　　　　　　　　　　　　　　　(6)　联立式（5）和式（6），可以解得：　　　　　同样，一个序列的FT也有上面类似的概念和结论。也可分解成共轭对称和共轭反对称分量，表示如下：　　　　　其中，。和表达式如下：　　　　　　④研究FT的对称性l将序列分成实部和虚部，得：(7)2－37对上式进行FT得：　　　　　　　　　　　　　　　　(8)式中，容易证明证明：同理可证。结

5、论：序列分成实部和虚部，实部的FT具有共轭对称性，虚部的FT变换具有共轭反对称性。l将序列分成共轭对称和共轭反对称，即　　　　　　　　　　　　　(9)　　　　　　　　　　　　　　　　(10)对上面两边进行FT变换，得：对（9）进行FT得：　　　　　　　结论：序列的共轭对称部分对应FT的实部2－37，而序列的共轭反对称对应FT的虚部。实因果序列h(n)可以分别用和表示为(11)(12)式中(11)、(12)两式是由下列两式得到：（）(13)(14)因此：　　　　　例1分析的对称性(例2.2.2)解：将-n代n，再求共轭得：例：利用FT对称性，分析实因

6、果序列h(n)的对称性，并推导其偶函数和奇函数与h(n)之间的关系。解：因为h(n)是实序列，，只有共轭对称部分，则，其共轭反对称，2－37所以是共轭对称的，其实部为偶函数，虚部为奇函数。用公式表示：h(n)的FT的模相角是奇函数。推导和又因是实因果序列，按照上面两式，可得出和的表达式，n<0,n>0=,n=00,n=0,n>0,n<0从上可知：是偶函数，是奇函数。例2.2.3，求其偶函数和奇函数。解：，根据上面公式1，得到x(0),n=0波形如图2.2.3所示，2－37（5）时域卷积定理设，则证明：令，则总结：在求系统的输出时，有两种方法。方法1

7、：在时域里用卷积（输入与系统的单位抽样响应）；方法2：在频域里按求出输出信号的傅里叶变换，再作逆FT即可求出输出信号。（5）频域卷积定理设，则证明：变换积分和求和次序，得：该定理表明，在时域两序列相乘，转换到频域服从卷积关系。2－37（6）帕斯维尔（Panseval）定理　告诉我们，信号时域的总能量等于频域的总能量。要说明的是，这里频域总能量是指在一个周期中积分以除以。证明：总结：FT的性质如表2.2.1所示，2.3周期序列的傅里叶级数及傅里叶变换表示式周期序列不满足条件，故其FT不存在，但由于是周期性，可以展成离散傅里叶级数。1、周期序列的离散傅

8、里叶级数该是以N为周期的周期序列，由于是周期性，可以展成傅里叶级数式中为傅里叶级数的系数。可以计算出的值（）式中，k,n均