2020版高考数学新增分大一轮新高考(鲁京津琼)专用名师精编讲义：第九章微专题十一Word版含解析.docx

《2020版高考数学新增分大一轮新高考(鲁京津琼)专用名师精编讲义：第九章微专题十一Word版含解析.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯微专题十一数学问题中圆的寻觅[解题技法]众所周知，圆是常见的平面图形，无论从形或数两方面来看，圆都具有丰富的内涵．当我们面对某些数学问题时，倘若能够从圆的视角来审视问题，即寻觅问题中圆的隐形的踪影，常常能使问题的求解过程变得清晰明了，简单快捷．本文拟就如何寻觅问题中圆的踪影，分三个方面予以概述．一、寻觅几何圆所谓寻觅几何圆，是指通过构造一个问题背后的相关圆，借助圆的几何性质求解问题．例1在锐角△ABC中，A＝45

2、°，若a＝2，求bc的取值范围．以下是本题的常见解法：解因为B＋C＝180°－A＝135°，0°

3、的几何性质可知，当点A在劣弧MN(不含端点)上运动时，△ABC即为锐角三角形，此时，△ABC的面积S满足S△△MBC

4、－sinB，D是BC的一个三分点(靠近点B)，记sin∠ABDsin∠BAD＝λ，则当λ取最大值时，求tan∠ACD的值．这是一道有一定难度的综合问题．假如仅从常规的函数视角审视问题，求解过程颇为不易．下面，我们从构造圆的思维考虑问题，则有以下简明解法．解由sin(A－B)＝sinC－sinB＝sin(A＋B)－sinB可得2cosAsinB＝sinB，所以cosA＝1，2因为A∈(0°，180°)，故A＝60°.画出△ABC的外接圆O，如图2，记A，B，C所对的边长顺次为a，b，c.在△ABD中应用正弦

5、定理，可得AD＝sin∠ABD＝λ，BDsin∠BAD1所以AD＝3λa.不难证明：当λ最大时，AD过圆心O(否则A′D≤A′O＋OD＝AO＋OD＝AD)，过O作OE⊥BC，交BC于E.因为A＝60°，所以∠BOC＝120°，∠OBC＝∠OCB＝30°.不妨设BD＝1，DC＝2，在Rt△OED中，OE＝BEtan30°＝3·3＝3，ED＝1，所以OD＝1，2322即有OD＝BD，故∠OBD＝∠DOB＝30°，∠BOA＝150°，∠ABO＝15°，所以∠ABC＝45°.从而∠ACD＝∠ACB＝180°－60

6、°－45°＝75°，所以tan∠ACD＝tan75°＝2＋3.二、寻觅解析圆解析圆，即为坐标圆．解题时，依照题设，通过建立直角坐标系，寻觅隐藏在问题背后的圆的方程，依托圆的解析性质求解问题．例3(2018·浙江)已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为π，3向量b满足b2－4e·b＋3＝0，则

7、a－b

8、的最小值是()A.3－1B.3＋1C．2D．2－3下面给出一种基于构造解析圆的解法．解设e＝(1,0)，a＝(x，y)，b＝(m，n)，2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

9、⋯名校名推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯π2＋y2，整理得y＝3x(x≥0)．由题设可得a·e＝

10、a

11、

12、·e

13、cos，即x＝1x32又由b2－4e·b＋3＝0可得m2＋n2－4m＋3＝0，整理得(m－2)2＋n2＝1.在直角坐标系xOy中，分别画出圆C：(x－2)2＋y2＝1，射线l：y＝3x(x≥0)，过圆心C作CD⊥l，交直线l与点D.由直观图可知，

14、a－b

15、的最小值是

16、CD

17、－1＝3－1.故选A.例4在平面四边形ABCD中，AB＝1，AC＝5，BD⊥BC，BD＝2BC，求线段AD的最大值与

18、最小值．本题是某地模拟试卷中的一道题，其中给出的该题详解是基于正弦定理、余弦定理的求解，过程不易．下面给出根据已知构造解析圆的更加简捷的求法．解如图4，以B为原点，以AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(－1,0)．设BC＝r，则可设C(rcosα，rsinα)，由AC＝5可得(rcosα＋1)2＋(rsinα)2＝5.①又因为BD⊥BC，BD＝2BC，则点D的坐标(xD，yD)满足πxD＝2rcosα＋2＝－2rsin