2020版高考数学新增分大一轮新高考(鲁京津琼)专用名师精编讲义：第二章微专题一Word版含解析.docx

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1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯微专题一多元变量的最值问题[经验分享]在数学中经常碰到求含有多个变量的最值问题，此类题目题型众多，解法也很多，学生在面对含有多个变量的问题时，最大的困扰是不知从何处入手．对于高中生，主要掌握的是一元变量的最值问题．因此，解决多元变量的最值问题，减元是常见的办法．一、代入减元例1设x，y∈R＋，且2x＋8y－xy＝0，求x＋y的最小值．解由2x＋8y－xy＝0得y＝2x，因为x，y∈R＋，所以x>8，所以

2、x－82x＝x＋2x－8＋16＝x＋2＋16x＋y＝x＋x－8x－8x－8＝(x－8)＋16＋10≥2x－8·16＋10＝18，x－8x－8当且仅当x－8＝16，即x＝12时，取“＝”号．x－8所以，当x＝12，y＝6时，x＋y取得最小值18.点评此题是一道学生经常见到的求多变量最值的试题，虽然此解法不是最优的解法，但可能是学生比较容易想到的解法．它的优点是由前面的等式可以得到y＝2x，代入x＋y中，x－8从而使二元变量变为一元变量，从而达到解题的目的．二、等量减元例2设正实数x，y，z满足x2

3、－3xy＋4y2－z＝0，则当xy取得最大值时，2＋1－2的最大值zxyz为()9A．0B．1C.4D．3答案B解析由已知得z＝x2－3xy＋4y2(*)则xy＝2xy2＝1≤1，当且仅当x＝2y时取等号，把x＝2y代入(*)式，得z＝zx－3xy＋4yx＋4y－3yx2y2，所以2＋1－2＝1＋1－12＝－1－12＋1≤1.xyzyyyy点评此题是2013年山东高考理科第12题，作为选择题压轴题，其难度在于如何寻求多元变量x，y，z之间的关系，进而达到减元的目的．其实，由xy变到2xy2就已经

4、应用zx－3xy＋4y1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯到了代入消元，再由2xy2变到1仍然用到了整体消元的思想(把x当做整体)，x－3xy＋4yx＋4y－3yyx从而寻求到了xy取最大值时变量x，y，z之间的关系．最后由212变到－12z＋－y2应用到了xyz＋yx，y，z之间的等量关系进行减元，从而达到求出最值的目的．这是一道典型的利用减元的方法求多元变量最值的例题．三、换元减元例3已知θ∈0，π，不等式2sinθcosθ＋sin

5、θ＋cosθ－m＋1≥0恒成立，求实数m的取2值范围．解原问题等价于：当θ∈π时，0，2不等式m≤2sinθcosθ＋sinθ＋cosθ＋1恒成立．π令y＝2sinθcosθ＋sinθ＋cosθ＋1，θ∈0，2，即求函数的最小值．令t＝sinθ＋cosθ＝2sinθ＋π，4π因为θ∈0，2，ππ3π，2]．所以θ＋∈，，所以t∈[1444又2sinθcosθ＝t2－1，所以y＝t2－1＋t＋1＝t＋12－1，24当t＝1(即θ＝0)时，ymin＝2.故m≤2.点评此题中的sinθcosθ，sin

6、θ＋cosθ若不加处理难以将变量统一起来．但是，观察到sinθcosθ与sinθ＋cosθ的关系，通过换元很巧妙的将变量完善统一起来，达到减元的目的．四、整体减元例4已知函数f(x)＝xlnx－a2·x2－x＋a(a∈R)在其定义域内有两个不同的极值点．(1)求a的取值范围；(2)设两个极值点分别为x1，x2，证明：x1·x2>e2.解(1)0x

7、2>0，则由以上两式分别相加和相减得：2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ln(x1x2)＝a(x1＋x2)，lnx1＝a(x1－x2)．x2消去a得ln(x1x2)＝x1＋x2x1x1－x·lnx2.2又因为要证x122成立，故只需证ln(x12x1＋x2·lnx1>2，·x>ex)>2，即只需证x1－x2x2即证lnx1x1－x2，x2>2·x1＋x2x1x1－1即只需证lnx2，x2>2·x1＋1x2令t＝x1>1，则上式为lnt

8、>2·.x2t＋1t－1t－1t－12构造函数g(t)＝lnt－2·，则g′(t)＝tt＋12>0，所以函数g(t)在(1，＋∞)上单调递t＋1(t>1)增，所以g(t)>g(1)＝0，即不等式t－12lnt>2·成立．故x1·x2>e.t＋1点评此题属于难题．由证明的结论可知，结论中没有参数a，故首先需要先消掉参数a.故由lnx1＝ax1，lnx2＝ax2变形后再消去a，但是也不能就这两个式子简单地消掉a，只有x1这样才能有后面的将x2当做整体进行减元的构造，从而达到解决问题的目的，这也是解决