2020版高考数学新增分大一轮新高考(鲁京津琼)专用名师精编讲义：微专题八Word版含解析.docx

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1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯微专题八基本不等式的向量形式[思维扩展]波利亚有句名言：“类比是伟大的引路人”．这句话言简意赅地阐明了类比在数学发现中的地位．我们知道，a2＋b2≥2ab(a，b∈R)以及a＋b≥ab(a，b∈R＋)是两个应用广泛的基本不2等式，一种有趣的想法是：这两个不等式可以类比到向量中去吗？由(a－b)2＝

2、a－b

3、2≥0不难得到a2＋b2≥2a·b，当且仅当a＝b时等号成立．但将a＋b≥ab(a，b∈R＋)简单地类比为a＋b≥a·b

4、就不行了，由于该不等式左边为向22量，右边为数量，故其无意义，因此我们需要调整角度，看能否获得有用的结果．注意到a＋b≥ab(a，b∈R＋)?a＋b2≥ab(a，b∈R＋)，而不等式a＋b2≥a·b左右两222边都是数量，因而可以比较大小．事实上，由(a＋b)2＝(a－b)2＋4a·b＝

5、a－b

6、2＋4a·b≥4a·b可得a＋b2≥a·b，当且仅当a＝b时等号成立．2这样，我们就得到如下两个结论：定理1设a，b是两个向量，则a2＋b2≥2a·b，当且仅当a＝b时等号成立．定理2设a，b是两个向量，则a＋b2≥a·b，

7、当且仅当a＝b时等号成立．2例1若平面向量a，b满足

8、2a－b

9、≤3，则a·b的最小值是________．答案－98解析方法一由定理1得32≥

10、2a－b

11、2＝(2a－b)2＝(－2a)2＋b2－4a·b≥2·(－2a·b)－4a·b＝－8a·b，9所以a·b≥－8，当且仅当b＝－2a时等号成立，9故a·b的最小值是－8.方法二由定理2得1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2a－b2

12、2a－b

13、292a·(－b)≤2＝4≤4，9则a·b≥－8，当且仅当b＝－2

14、a时等号成立．故a·b的最小值是－98.说明本题可推广至一般形式：若平面向量a，b满足：

15、λa＋b

16、≤m(m>0)，则当λ>0时，a·b22的最大值为m；当λ<0时，a·b的最小值为m.4λ4λ例2分析答案已知a，b满足

17、a

18、＝1，(a＋b)·(a－2b)＝0，则

19、b

20、的最小值为________．此题有一定难度．普通学生难以想到．事实上，利用定理1此题极易作答，过程如下．12解析引入正参数λ，由(a＋b)·(a－2b)＝0得a2－a·b－2b2＝0，又

21、a

22、＝1，则1－2b2＝a·b，1－2b2＝a·b≤1λa2＋

23、1b22λ112＝(λ＋b)，2λ21222当且仅当λa＝b，即b＝λ时等号成立．λ21212所以－λ＝·≤λa＋b12ab2λ112＝λ＋·λ，2λ1解得λ＝

24、b

25、≥2，1故

26、b

27、的最小值为2.例3已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，求

28、c

29、的最大值．解由(a－c)·(b－c)＝0得c2＝c·(a＋b)，由定理1及已知条件得2＝·＋≤1[c2＋＋b)2]cc(ab)2(a122212＝2(c＋a＋b)＝2(c＋2)，2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名

30、推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯解得

31、c

32、2≤2，故

33、c

34、的最大值是2.拓展1已知a，b是平面内夹角为θ的两个单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则

35、c

36、的最大值是1.cosθ2拓展2已知a，b是平面内两个互相垂直的向量，且

37、a

38、＝m，

39、b

40、＝n，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则

41、c

42、的最大值是m2＋n2.→→→21例4平面上三点A，B，C满足AB·BC>0，求AC＋→→的最小值．AB·BC→→→→21→2解由定理2得AB＋BC0

43、→→→2AB·BCAC→2＋4→2＝

44、AC

45、→≥2·

46、AC

47、·＝4，2→

48、AC

49、

50、AC

51、→→→→21故当且仅当AB＝BC，且

52、AC

53、＝2时，AC＋→→取得最小值4.AB·BC例5设a，b满足a2＋a·b＋b2＝3，求a2－a·b＋b2的取值范围．解由定理1得a·b≤a2＋b2，23－a·b所以a·b≤2，解得a·b≤1.－a2＋b2又由定理1得(－a)·b≤2，所以a·b≥－a2＋b23－a·b2＝－2，解得a·b≥－3.所以－3≤a·b≤1.因为a2－a·b＋b2＝(3－a·b)－a·b＝3－2a·b，所以1≤a2

54、－a·b＋b2≤9.以上五道例题从不同角度为我们初步展示了定理1、定理2的魅力，它们微小平凡，对破解难题却极其有效．不过，追求它们更广泛的应用前景固然让人心动，但更有价值的则是获得它们的思维过程．类比是打开发现之门的金钥匙，但如何用好这把钥匙却值得我们长久3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯