2020版高考数学新增分大一轮新高考(鲁京津琼)专用名师精编讲义：第五章微专题六Word版含解析.docx

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1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯微专题六向量中数量积的最值[经验分享]在平面向量的问题中，存在一种“以平面图形为载体的有关数量积的最大值问题”，通过对该类问题的多解探究，进一步提高分析、解决此类问题的能力．题目(2018·南通调研)如图1，已知AC＝2，B为AC的中点，分别以AB，AC为直径在AC→→同侧作半圆，M，N分别为两半圆上的动点(不含端点A，B，C)，且BM⊥BN，则AM·CN的最大值为________．1答案4解析方法一由题设可知AB＝BC＝BN＝1.

2、因为点M在以AB为直径的半圆上，所以AM⊥BM，又BM⊥BN，所以AM∥BN，若设∠MAB＝θ，则∠NBC＝θ.如题图2，建立平面直角坐标系xBy，则点A(－1,0)，M(－sin2θ，sinθcosθ)，C(1,0)，N(cos→22→θ，sinθ)，所以AM＝(－sinθ＋1，sinθcosθ)＝(cosθ，sinθcosθ)，CN＝(cosθ－1，sinθ)．→→22于是，AM·CN＝cosθ·(cosθ－1)＋sinθcosθ＝cos3θ－cos2θ＋(1－cos2θ)cosθ＝－cos21－cosθ－12θ＋cos

3、θ＝42.又易知ππ→→1.0<θ<，所以，当θ＝时，可得AM·CN的最大值为423评注上述求解过程的切入点是引入辅助角θ，准确写出点M，N的坐标，以便灵活利用平面向量的坐标运算加以求解．方法二如题图2，建立平面直角坐标系xBy，设直线BN的方程为y＝kx(k>0)，则因为1BM⊥BN，所以直线BM的方程为y＝－kx.注意到点N是直线BN与以AC为直径的半圆的交点，所以将y＝kx与x2＋y2＝1联立，可求得点N的坐标为1，k1＋k21＋k2.1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

4、⋯⋯⋯⋯⋯⋯11221注意到点M是直线BM与以AB为直径的半圆的交点，所以将y＝－kx与x＋2＋y＝4联立，可求得点－k2kM的坐标为2，2k＋1k＋1.又点A(－1,0)，C(1,0)，所以向量→1k→12－1，kAM＝2，2，CN＝1＋k2，k＋1k＋11＋k→→11k·k所以AM·CN＝22－1＋21＋k2k＋11＋kk＋11k2＋1＝k2＋11＋k2－111＝1＋k2－k2＋11－1－12，＝1＋k242故当1＝1，即k＝→→1.23时，可得AM·CN的最大值为41＋k2评注上述求解过程的关键是引入参数k(直线BN的

5、斜率)，并借助直线和圆的方程，灵活求解点M，N的坐标，整个求解过程显然比方法一增加了许多运算量．方法三由题设可知AB＝BC＝BN＝1，因为点M在以AB为直径的半圆上，所以AM⊥BM，又BM⊥BN，所以AM∥BN，→→→→所以AM·BN＝

6、AM

7、×1×cos0＝°

8、AM

9、.因为AM⊥BM，AB＝1，→所以

10、AM

11、＝1×cos∠MAB＝cos∠MAB，所以→→→→AM·BC＝AM·AB→→2.＝

12、AM

13、×1×cos∠MAB＝

14、AM

15、→→→→→于是，AM·CN＝AM·(BN－BC)→→→→＝AM·BN－AM·BC→→21→12＝

16、

17、AM

18、－

19、AM

20、＝－

21、AM

22、－2.4→又0<

23、AM

24、<1，→1→→1所以，当

25、AM

26、＝时，可得AM·CN的最大值为.24评注上述求解过程的关键是充分利用平面向量的数量积公式a·b＝

27、a

28、·

29、b

30、cosθ，将目标问题等价转化为求解关于→(0,1)上的最大值．“

31、AM

32、”的二次函数在区间2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯方法四如图3，分别延长AM，CN，设其交点为E，并设ME与大半圆的交点为D，连接CD，则易知AM⊥MB，AD⊥DC，所以BM∥CD，又B为AC的中点，

33、图3所以M为AD的中点，→→所以AM＝1AD.2→→，且B为AC的中点，所以→1→又易知AE∥BNN为CE的中点，所以CN＝CE.2→→→→于是，AM·CN＝1AD·CE4＝1→→→AD·(CD＋DE)4→→→→＝1AD·CD＋1AD·DE441→→°＝0＋

34、AD

35、

36、DE·

37、cos04＝1→→

38、AD

39、

40、DE·

41、.4因为BN为△ACE的中位线，→→→→所以

42、AD

43、＋

44、DE

45、＝

46、AE

47、＝2

48、BN

49、＝2.→→→→从而，AM·CN＝1

50、AD

51、

52、DE·

53、41→→1221≤

54、AD

55、＋

56、DE

57、24＝×2＝，244→→当且仅当

58、AD

59、＝

60、D

61、E

62、，即D为AE的中点时不等式取等号．→→1故所求AM·CN的最大值为.4评注上述求解过程的关键是巧作辅助线，充分利用相关平面几何知识，→1→先获得AM＝AD和2→1→CN＝CE，然后再综合利用向量的几何意义、数量积运算、三角形中位线性质定理以及基2本不等式的变形式“ab≤a＋b2”加以灵