鲁京津琼专用2020版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何微专题十一数学问题中圆的寻觅教案含解析20190831271

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1、微专题十一　数学问题中圆的寻觅[解题技法]众所周知，圆是常见的平面图形，无论从形或数两方面来看，圆都具有丰富的内涵．当我们面对某些数学问题时，倘若能够从圆的视角来审视问题，即寻觅问题中圆的隐形的踪影，常常能使问题的求解过程变得清晰明了，简单快捷．本文拟就如何寻觅问题中圆的踪影，分三个方面予以概述．一、寻觅几何圆所谓寻觅几何圆，是指通过构造一个问题背后的相关圆，借助圆的几何性质求解问题．例1　在锐角△ABC中，A＝45°，若a＝，求bc的取值范围．以下是本题的常见解法：解　因为B＋C＝180°－A＝135°，0°

2、，0°

3、弧MN的中点)，即MB·MC·sinM

4、＝sin(A＋B)－sinB可得2cosAsinB＝sinB，所以cosA＝，因为A∈(0°，180°)，故A＝60°.画出△ABC的外接圆O，如图2，记A，B，C所对的边长顺次为a，b，c.在△ABD中应用正弦定理，可得＝＝λ，所以AD＝λa.不难证明：当λ最大时，AD过圆心O(否则A′D≤A′O＋OD＝AO＋OD＝AD)，过O作OE⊥BC，交BC于E.因为A＝60°，所以∠BOC＝120°，∠OBC＝∠OCB＝30°.不妨设BD＝1，DC＝2，在Rt△OED中，OE＝BEtan30°＝·＝，ED＝，所以OD＝1，即有O

5、D＝BD，故∠OBD＝∠DOB＝30°，∠BOA＝150°，∠ABO＝15°，所以∠ABC＝45°.从而∠ACD＝∠ACB＝180°－60°－45°＝75°，所以tan∠ACD＝tan75°＝2＋.二、寻觅解析圆解析圆，即为坐标圆．解题时，依照题设，通过建立直角坐标系，寻觅隐藏在问题背后的圆的方程，依托圆的解析性质求解问题．例3　(2018·浙江)已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2－4e·b＋3＝0，则

6、a－b

7、的最小值是(　　)A.－1B.＋1C．2D．2－下面给出一种基于构

8、造解析圆的解法．解　设e＝(1,0)，a＝(x，y)，b＝(m，n)，4由题设可得a·e＝

9、a

10、·

11、e

12、cos，即x＝，整理得y＝x(x≥0)．又由b2－4e·b＋3＝0可得m2＋n2－4m＋3＝0，整理得(m－2)2＋n2＝1.在直角坐标系xOy中，分别画出圆C：(x－2)2＋y2＝1，射线l：y＝x(x≥0)，过圆心C作CD⊥l，交直线l与点D.由直观图可知，

13、a－b

14、的最小值是

15、CD

16、－1＝－1.故选A.例4　在平面四边形ABCD中，AB＝1，AC＝，BD⊥BC，BD＝2BC，求线段AD的最大值与最小值．本题是某地模

17、拟试卷中的一道题，其中给出的该题详解是基于正弦定理、余弦定理的求解，过程不易．下面给出根据已知构造解析圆的更加简捷的求法．解　如图4，以B为原点，以AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(－1,0)．设BC＝r，则可设C(rcosα，rsinα)，由AC＝可得(rcosα＋1)2＋(rsinα)2＝5.①又因为BD⊥BC，BD＝2BC，则点D的坐标(xD，yD)满足xD＝2rcos＝－2rsinα，yD＝2rsin＝2rcosα.结合①式可得x＋(yD＋2)2＝20，即点D的轨迹为圆E：x2＋(y＋2)2＝20.易知

18、

19、AE

20、＝，点A(－1,0)在圆E内，所以，线段AD的最大值与最小值顺次为＋

21、AE

22、＝3，－

23、AE

24、＝.三、寻觅双面圆寻觅双面圆，即寻觅隐含在问题背后的具有几何与代数特征的圆，然后，借助于圆的综合性质，达到破解问题的目的．例5　已知a>0，b>0，且＋＝1，求P＝a＋b＋的最小值．本题按照常规思路求解，不