鲁京津琼专用2020版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何专题探究课五高考中解析几何问题的热点题型教案含解析20190831272

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1、专题探究课五高考中解析几何问题的热点题型1.(2015·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy中，曲线C：y＝与直线l：y＝kx＋a(a>0)交于M，N两点，(1)当k＝0时，分别求C在点M和N处的切线方程；(2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM＝∠OPN？说明理由.解　(1)由题设可得M(2，a)，N(－2，a)，或M(－2，a)，N(2，a).又y′＝，故y＝在x＝2处的导数值为，C在点(2，a)处的切线方程为y－a＝(x－2)，即x－y－a＝0.y＝在x＝－2处的导数值为－，C在点(－2，a)处的切线方程为y－a＝－(x＋2)，即x＋y＋a＝0.故所求切线方程为x－y

2、－a＝0和x＋y＋a＝0.(2)存在符合题意的点，证明如下：设P(0，b)为符合题意的点，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2.将y＝kx＋a代入C的方程得x2－4kx－4a＝0.故x1＋x2＝4k，x1x2＝－4a.从而k1＋k2＝＋＝＝.当b＝－a时，有k1＋k2＝0，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，故∠OPM＝∠OPN，所以点P(0，－a)符合题意.2.(2016·北京卷)已知椭圆C：＋＝1过点A(2，0)，B(0，1)两点.(1)求椭圆C的方程及离心率；(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与

3、x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值.(1)解　由题意知a＝2，b＝1.6所以椭圆方程为＋y2＝1，又c＝＝.所以椭圆离心率e＝＝.(2)证明　设P点坐标为(x0，y0)(x0＜0，y0＜0)，则x＋4y＝4，由B点坐标(0，1)得直线PB方程为：y－1＝(x－0)，令y＝0，得xN＝，从而

4、AN

5、＝2－xN＝2＋，由A点坐标(2，0)得直线PA方程为y－0＝(x－2)，令x＝0，得yM＝，从而

6、BM

7、＝1－yM＝1＋，所以S四边形ABNM＝

8、AN

9、·

10、BM

11、＝＝＝＝2.即四边形ABNM的面积为定值2.3.已知中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆过点P(2，)，且它的离心

12、率e＝.(1)求椭圆的标准方程；(2)与圆(x－1)2＋y2＝1相切的直线l：y＝kx＋t交椭圆于M，N两点，若椭圆上一点C满足＋＝λ，求实数λ的取值范围.解　(1)设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，由已知得：解得6所以椭圆的标准方程为＋＝1.(2)因为直线l：y＝kx＋t与圆(x－1)2＋y2＝1相切，所以＝1⇒2k＝(t≠0)，把y＝kx＋t代入＋＝1并整理得：(3＋4k2)x2＋8ktx＋(4t2－24)＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则有x1＋x2＝－，y1＋y2＝kx1＋t＋kx2＋t＝k(x1＋x2)＋2t＝，因为λ＝(x1＋x2，y1＋y2)，所以

13、C，又因为点C在椭圆上，所以，＋＝1⇒λ2＝＝，因为t2＞0，所以＋＋1＞1，所以0＜λ2＜2，所以λ的取值范围为(－，0)∪(0，).4.已知椭圆C的方程为：x2＋2y2＝4.(1)求椭圆C的离心率；(2)设O为坐标原点，若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值.解　(1)由题意，椭圆C的标准方程为＋＝1，所以a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2.因此a＝2，c＝.故椭圆C的离心率e＝＝.(2)设点A，B的坐标分别为(t，2)，(x0，y0)，其中x0≠0.因为OA⊥OB，则·＝0，所以tx0＋2y0＝0，解得t＝－.6又x＋2y＝4，

14、所以

15、AB

16、2＝(x0－t)2＋(y0－2)2＝＋(y0－2)2＝x＋y＋＋4＝x＋＋＋4＝＋＋4(0

17、AB

18、2≥8.故线段AB长度的最小值为2.5.如图，已知椭圆C：＋y2＝1(a>1)的上顶点为A，右焦点为F，直线AF与圆M：x2＋y2－6x－2y＋7＝0相切.(1)求椭圆C的方程；(2)若不过点A的动直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且·＝0，求证：直线l过定点，并求出该定点N的坐标.(1)解　将圆M的一般方程x2＋y2－6x－2y＋7＝0化为标准方程为(x－3)2＋(y－1)2＝3，圆M的圆心为M(3，1)，

19、半径r＝.由A(0，1)，F(c，0)(c＝)得直线AF：＋y＝1，即x＋cy－c＝0.由直线AF与圆M相切，得＝.∴c＝或c＝－(舍去).∴a＝，∴椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)证明　由·＝0，知AP⊥AQ，从而直线AP与坐标轴不垂直，由A(0，1)可设直线AP的方程为y＝kx＋1，直线AQ的方程为y＝－x＋1(k≠0)，将y＝kx＋1代入椭圆C的方程＋y2＝1并整理得：(1＋3k2)x2＋6kx＝0，解得x＝0或x＝－，因此P的坐标为，6即.将上式中的k换成－，得Q.∴直线