鲁京津琼专用2020版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.5椭圆第2课时教案含解析20190831262

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1、第2课时　直线与椭圆题型一　直线与椭圆的位置关系1．若直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是(　　)A．m>1B．m>0C．00且m≠5，∴m≥1且m≠5.2．已知直线l：y＝2x＋m

2、，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点．解　将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③方程③根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.(1)当Δ>0，即－3

3、椭圆C有且只有一个公共点．(3)当Δ<0，即m<－3或m>314时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点．思维升华研究直线与椭圆位置关系的方法(1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究其直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数．(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点．题型二　弦长及中点弦问题命题点1　弦长问题例1斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则

4、AB

5、的最大值为(　　)A．2B.C.D.答案　C解析　设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为

6、y＝x＋t，由消去y，得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0，则x1＋x2＝－t，x1x2＝.∴

7、AB

8、＝

9、x1－x2

10、＝·＝·＝·，当t＝0时，

11、AB

12、max＝.命题点2　中点弦问题例2　已知P(1,1)为椭圆＋＝1内一定点，经过P引一条弦，使此弦被P点平分，则此弦所在的直线方程为________________．答案　x＋2y－3＝0解析　方法一　易知此弦所在直线的斜率存在，∴设其方程为y－1＝k(x－1)，弦所在的直线与椭圆相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由消去y得，(2k2＋1)x2－4k(k－1)x＋2(k2－2k－1)＝0，14∴

13、x1＋x2＝，又∵x1＋x2＝2，∴＝2，解得k＝－.故此弦所在的直线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0.方法二　易知此弦所在直线的斜率存在，∴设斜率为k，弦所在的直线与椭圆相交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝1，①＋＝1，②①－②得＋＝0，∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，∴＋y1－y2＝0，∴k＝＝－，经检验k＝－满足题意．∴此弦所在的直线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0.思维升华(1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，应用根与系数的关系，解决相关问题．涉及中点弦的

14、问题时用“点差法”解决，往往会更简单．记住必须检验．(2)设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

15、AB

16、＝＝(k为直线斜率)．(3)利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．跟踪训练1　设离心率为的椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P是E上一点，PF1⊥PF2，△PF1F2内切圆的半径为－1.(1)求E的方程；(2)矩形ABCD的两顶点C，D在直线y＝x＋2上，A，B在椭圆E上，若矩形ABCD的周长为14，求直线AB的方程．解　(1)Rt△PF1F2内切圆的半径r＝(

17、PF1

18、＋

19、

20、PF2

21、－

22、F1F2

23、)＝a－c，依题意有a－c＝－1.又＝，则a＝，c＝1，从而b＝1.故椭圆E的方程为＋y2＝1.(2)设直线AB的方程为y＝x＋m，代入椭圆E的方程，整理得3x2＋4mx＋2m2－2＝0，由Δ>0得－

24、AB

25、＝

26、x2－x1

27、＝.易知

28、BC

29、＝，则由－

30、BC

31、＝，所以由已知可得

32、AB

33、＋

34、BC

35、＝，即＋＝，整理得41m2＋30m－71＝0，解得m＝1或m＝－(均满足－

36、圆C：＋＝1(a>b>0