2021届高考数学选做题冲刺辅导(文理通用)专题04 证明不等式的基本方法.docx

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1、选修4-5不等式选讲专题04证明不等式的基本方法【知识网络】不等式的证明方法比较法综合法和分析法反证法与放缩法【考情分析】考纲要求通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法。考情分析高频考点比较法、综合法证明不等式问题考查形式一般地，不单独考查纯粹的证明方法，而是结合具体题目进行考查，掌握和理解证明方法的实质，以解答题的形式考查，难度适中．常见题型解答题备考要求准确理解证明方法的实质和证明问题的步骤，注意一些常见题型的处理思路和方法、分析法的证明问题的格式等．【知识详单】1.比较法作差比较法：因为a>b⇔a－b>0，

2、要证a>b，只需要证a－b>0，同样要证ab，只需证>1；如果a、b都是负数，要证a>b，只需证<1.【例1】已知>0,求证:【证明】∵又∵>0,∴>0,,∴∴∴【拓展提升】作差后为了容易判别差的正、负，常用变形方法为：一是配方法，二是分解因式．证指数不等式常用作商法，证对数不等式时，常用作差法．2.综合法和分析法⑴综合法：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法．综合法又叫顺推证法或由因导果法．⑵分析法：证明命题时，

3、从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法，这是一种执果索因的思考和证明方法．【例2】设均为正数,且,证明:(Ⅰ);(Ⅱ).证明　(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.(2)因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，故＋＋＋(a＋b＋

4、c)≥2(a＋b＋c)，即＋＋≥a＋b＋c.所以＋＋≥1.【规律总结】综合法证明不等式，揭示出条件和结论之间的因果联系，为此要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系．合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键．3.反证法与放缩法（1）反证法：先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理，性质等进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质，明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法．注意：存在性命题、否定性命题、唯一性命题或结论中出现“至少”、“至多”

5、、“全都”等字词的命题或不等式．（2）放缩法：将所需证明的不等式的值适当放大(或缩小)使它由繁化简，达到证明目的．如果所要证明的不等式中含有分式，把分母放大，则相应分式的值缩小，反之，把分母缩小，则分式的值放大．【例3】已知x>0，y>0，且x＋y>2，求证：与中至少有一个小于2.【证明】假设≥2且≥2.∵x>0，y>0，∴1＋y≥2x①1＋x≥2y②①＋②得2＋(x＋y)≥2(x＋y)，即x＋y≤2与x＋y>2矛盾．∴假设不成立，故与中至少有一个小于2.【规律总结】用反证法证明不等式，其实质是从否定结论出发，通过逻辑推理，导出与已知条件或公理相矛盾的结

6、论，从而肯定原命题成立．【例4】正项数列{an}的前项和{an}满足:(1)求数列{an}的通项公式an;(2)令,数列{bn}的前项和为.证明:对于任意的,都有【解析】(1)由,得. 由于是正项数列,所以. 于是时,. 综上,数列的通项. (2)证明:由于. 则. .【方法技巧】1.作差法比较不等式的方法及应用用比较法证不等式，一般要经历作差(或作商)、变形、判断三个步骤，变形的主要手段是通分、因式分解或配方，在变形过程中，也可利用基本不等式放缩．2.分析法证明不等式及其思路技巧【例5】已知x＞0，y＞0，求证：.【思维导图】→→→【证明】欲证，只需

7、证(x2＋y2)3＞(x3＋y3)2，即证x6＋3x4y2＋3x2y4＋y6＞x6＋2x3y3＋y6，即证3x4y2＋3x2y4＞2x3y3.∵x＞0，y＞0，∴x2y2＞0，即证3x2＋3y2＞2xy.∵3x2＋3y2＞x2＋y2≥2xy，∴3x2＋3y2＞2xy成立，∴.【拓展提升】分析法书写格式第一种：要证……，只需证……，只需证……，直到出现已知条件或已知定理或明显成立的事实．第二种：有些命题的证明上、下步之间都是充要条件，所以分析法证明每步之间都可用符号“⇔”直到出现已知条件、定理、明显的事实．第三种：各步之间用符号“⇐”．3.综合利用综合法与

8、分析法证明不等式【例6】在某两个正数x，y之间，若插入一个数a，使x，a，y成等