资源描述：
《2021届高考数学选做题冲刺(文理通用)专题05 柯西不等式与排序不等式.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、选修4-5不等式选讲专题05柯西不等式与排序不等式【知识网络】柯西不等式与排序不等式柯西不等式二维形式的柯西不等式排序不等式三维形式的柯西不等式顺序和、乱序和、反序和的概念排序原理【考情分析】考纲要求1.了解柯西不等式的几种不同形式。理解它们的几何意义；（1）证明：柯西不等式向量形式：；（2）证明：；（3）证明：（通常称作平面三角不等式）2.了解用参数配方法讨论柯西不等式的一般情况：3.了解用向量递归方法讨论排序不等式；4.能够利用柯西不等式求一些特定函数的极值。5.了解排序不等式的构成形式．6.了解数学归纳法的原理及其使用范
2、围，会用数学归纳法证明一些简单问题。7.会用数学归纳法证明贝努利不等式：（，n为大于1的正整数）。了解当n为大于1的实数时贝努利不等式也成立。考情分析高频考点二维形式的柯西不等式及其运用、排序不等式的构成及其原理、数学归纳法的基本原理和应用．考查形式本部分作为不等式中的一个重要应用方向，了解柯西不等式的构成和几种常见形式，高考命题中很少涉及，有时考查二维形式的柯西不等式常见题型解答题备考要求熟练掌握二维形式和三维形式的柯西不等式的结构形式及其应用，了解排序不等式的原理和解题步骤，做好归纳整理．【知识详单】1．二维形式的柯西不等
3、式(1)定义：若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立．(2)二维形式的柯西不等式的一些变式变式1:·≥
4、ac＋bd
5、(当且仅当ad＝bc时，等号成立)变式2：(a＋b)(c＋d)≥(＋)2.(a，b，c，d∈R＋，当且仅当ad＝bc时，等号成立)变式3:·≥
6、ac
7、＋
8、bd
9、(当且仅当
10、ad
11、＝
12、bc
13、时，等号成立)2．柯西不等式的向量形式设α，β是两个向量，则
14、α·β
15、≤
16、α
17、
18、β
19、，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．【例1】设平面上
20、两个向量为α＝(a1，a2)，β＝(b1，b2)，证明
21、α
22、
23、β
24、≥
25、α·β
26、.【证明】∵cos〈α，β〉＝＝∴cos2〈α，β〉＝≤1，即(a＋a)(b＋b)≥(a1b1＋a2b2)2，·≥
27、a1b1＋a2b2
28、.∴
29、α
30、
31、β
32、≥
33、α·β
34、，等号成立的充要条件为α＝λβ(λ≠0)．3．二维形式的三角不等式（1）设x1，y1，x2，y2∈R，那么＋≥.(2)设平面上三点坐标为A(a1，a2)、B(b1，b2)、C(c1，c2)，则＋≥，其几何意义为：
35、AB
36、＋
37、BC
38、≥
39、AC
40、.(3)设α，β，γ为平面向量，则
41、α－β
42、＋
43、β
44、－γ
45、≥
46、α－γ
47、，等号成立的充要条件为α－β＝λ(β－γ)(λ＞0)．【例2】已知3x2＋2y2＝6，求证：2x＋y≤.【思维导图】→→【证明】由于2x＋y＝(x)＋(y)．由柯西不等式(a1b1＋a2b2)2≤(a＋a)(b＋b)得(2x＋y)2≤(3x2＋2y2)≤×6＝×6＝11，∴
48、2x＋y
49、≤，∴2x＋y≤.【规律总结】二维形式的柯西不等式可以理解为四个数对应的一种不等关系，对谁与谁组合是有顺序的，不是任意的搭配，因此要仔细体会，加强记忆．例如，(a2＋b2)·(d2＋c2)≥(ac＋bd)2是错误的，而应有(a2
50、＋b2)(d2＋c2)≥(ad＋bc)2.4.三维形式的柯西不等式设a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R，则(a＋a＋a)·(b＋b＋b)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3)2.当且仅当b1＝b2＝b3＝0或存在一个数k，使得a1＝kb1，a2＝kb2，a3＝kb3时，等号成立．在空间向量中，三维的柯西不等式的代数形式．设α＝(a1，a2，a3)，β＝(b1，b2，b3)，则α·β＝a1b1＋a2b2＋a3b3代入向量式得：(a＋a＋a)(b＋b＋b)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3)2.当且仅当α·β共线时，即β＝0，或存在
51、一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2,3)时，等号成立．【例3】设，且满足：，，则。【答案】【解析】由柯西不等式可知，，即，因为，所以当且进行时取等号。此时代入得，即，所以．【例4】设a，b，c，x，y，z是正数，且a2＋b2＋c2＝10，x2＋y2＋z2＝40，ax＋by＋cz＝20，则＝( )．A.B.C.D.【答案】C【解析】由题设及柯西不等式得
52、ax＋by＋cz
53、≤＝20，当且仅当＝＝时取等号，此时令＝＝＝k，易知k＝，∴＝k＝，故选C.5．一般形式的柯西不等式设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，b
54、n是实数，则(a＋a＋a＋…＋a)·(b＋b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋anbn)2，当且仅当bi＝0(i＝1,2,3，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2,3，…，n)时，等号成立．【例5】设a，b，c为正数且互不相等，求证：＋＋>.
