高中数学-柯西不等式与排序不等式

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1、3.13.2柯西不等式1.二元均值不等式有哪几种形式？答案：及几种变式.2.已知a、b、c、d为实数，求证证法：（比较法）=….=定理：若a、b、c、d为实数，则.变式：或或.定理：设，则（当且仅当时取等号，假设）变式：.定理：设是两个向量，则.等号成立？（是零向量，或者共线）练习：已知a、b、c、d为实数，求证.证法：（分析法）平方→应用柯西不等式→讨论：其几何意义？（构造三角形）三角不等式：①定理：设，则.变式：若，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？例1：求函数的最大值？分析：如何变形？→构造柯西不等式的形式变式：→推广：例2：若，，求证：.分析：如何变形后利用柯

2、西不等式？（注意对比→构造）要点：…讨论：其它证法（利用基本不等式）练习：已知，求的最小值.解答要点：（凑配法）.讨论：其它方法（数形结合法）练习：已知、，求证：.例1：已知，求的最小值.练习：若，且，求的最小值.变式：若，且，求的最小值.变式：若，且，求的最大值.例2：若>>，求证：.要点：例3已知正数满足证明证明：利用柯西不等式又因为在此不等式两边同乘以2，再加上得：故例4设是内的一点，是到三边的距离，是外接圆的半径，证明证明：由柯西不等式得，记为的面积，则故不等式成立。练习：已知实数满足，试求的最值解：由柯西不等式得，有即由条件可得，解得，当且仅当时等号成立，代入时，时3

3、.3排序不等式排序不等式（即排序原理）：设有两个有序实数组:···;···.···是，···的任一排列,则有···+(同序和)+···+(乱序和)+···+(反序和)当且仅当···=或···=时，反序和等于同序和.排序不等式的应用：例1：设是n个互不相同的正整数，求证：.证明过程：设是的一个排列，且，则.又，由排序不等式，得…小结：分析目标，构造有序排列.练习：已知为正数，求证：.解答要点：由对称性，假设，则，于是，，两式相加即得.