同济版大一高数下第七章习题课)xgppt课件.ppt

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1、高等数学第三十四讲1二阶微分方程的习题课(二)二、微分方程的应用解法及应用一、两类二阶微分方程的解法第七章2一、两类二阶微分方程的解法1.可降阶微分方程的解法—降阶法令令逐次积分求解3解代入方程，得故方程的通解为例1.4例2已知方程有特解则方程的通解为再求线性齐次方程的通解.提示:()提示:将解代入方程,得52.二阶线性微分方程的解法常系数情形齐次非齐次代数法6解答提示P353题2求以为通解的微分方程.提示:由通解式可知特征方程的根为故特征方程为因此微分方程为P352题3求下列微分方程的通解提示:令则方程变为7P354题4(2)求解提示:令则方程变为积分得利用再解并利用定常数思考若

2、问题改为求解则求解过程中得问开方时正负号如何确定?8解特征方程对应的齐次方程的通解为例3原方程的一个特解为故原方程的通解为设原方程的特解为9故原方程的通解为例3由解得所以原方程满足初始条件的特解为10例4.设求解:两边对x求导求解可得思考:设提示:对积分换元,令则有11思考:设提示:对积分换元,则有解初值问题:答案:12例5：设f(x)具有二阶连续导数且为一全微分方程，求此微分方程的通解。解令解得令特解13利用通解14例7有特而对应齐次方程有解及微分方程的通解.解:将故所给二阶非齐次方程为方程化为1.设二阶非齐次方程一阶线性非齐次方程15故再积分得通解复习:一阶线性微分方程通解公式

3、16例8(1)验证函数满足微分方程(2)利用(1)的结果求幂级数的和.解:(1)(02考研)17所以(2)由(1)的结果可知所给级数的和函数满足其特征方程:特征根:∴齐次方程通解为设非齐次方程特解为代入原方程得故非齐次方程通解为18代入初始条件可得故所求级数的和19P354题8设函数在r>0内满足拉普拉斯方程二阶可导,且试将方程化为以r为自变量的常微分方程,并求f(r).提示:利用对称性,即(欧拉方程)原方程可化为20例7.设函数内具有连续二阶导(1)试将x＝x(y)所满足的微分方程变换为y＝y(x)所满足的微分方程;数,且解:上式两端对x求导,得:(1)由反函数的导数公式知(03

4、考研)代入原微分方程①得21(2)方程①的对应齐次方程的通解为设①的特解为代入①得A＝0,从而得①的通解:例7.设函数内具有连续二阶导数,且的解.(2)求变换后的微分方程满足初始条件①22由初始条件得故所求初值问题的解为23