同济版大一高数第十章习题课9备课讲稿.ppt

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1、高等数学第十八讲1习题课一、重积分计算的基本方法二、重积分计算的基本技巧三、重积分的应用第十章重积分的计算及应用2一、重积分计算的基本方法1.选择合适的坐标系使积分域多为坐标面(线)围成;被积函数用此坐标表示简洁或变量分离.2.选择易计算的积分序积分域分块要少,累次积分易算为妙.图示法列不等式法(从内到外:面、线、点)3.掌握确定积分限的方法——累次积分法3二、重积分计算的基本技巧分块积分法利用对称性1.交换积分顺序的方法2.利用对称性或质心公式简化计算3.消去被积函数绝对值符号练习题4.利用重积分换元公式P1811(总习题

2、十);P1824,7(2),9解答提示:(接下页)41、二重积分的定义定义:将区域D任意分成n个小区域任取一点若存在一个常数I,使可积,在D上的二重积分.记作是定义在有界区域D上的有界函数,２、二重积分的几何意义当被积函数大于零时，当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积．二重积分是柱体的体积的负值．5性质１为常数时，性质２３、二重积分的性质性质３对区域具有可加性性质４为D的面积若性质５若在D上，6性质６性质７（二重积分中值定理）7特别：轮换对称：若D关于直线对称，则.例如计算：8４、二重积分的计算［X－型］X-型区域的特点

3、：穿过区域且平行于y轴（１）直角坐标系下Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线［Y－型］的直线与区域边界相交不多于两个交点.与区域边界相交不多于两个交点.9（２）极坐标系下10两个方面。1．若关于轴对称，时，当时，运用对称性时，当则有必须兼顾被积函数与积分区域两个方面的对称性要相匹配，才能利用对116、重积分的应用(1)体积设S曲面的方程为：曲面S的面积为(2)曲面面积12(3)质心若物体为占有xoy面上区域D的平面薄片,(A为D的面积)得D的形心坐标:则它的质心坐标为其面密度13如果物体是平面薄片,面密度为则转动惯量的

4、表达式是二重积分.(4)转动惯量14(4)转动惯量15例1计算积分其中D由所围成.提示:如图所示连续,所以16解例2.17解例3.18例4.计算其中解:对于含有绝对值的函数,通常分区域积分原式=利用极坐标19例5.计算二重积分其中:(1)D为圆域(2)D由直线解:(1)利用对称性.围成.20(2)积分域如图:将D分为添加辅助线利用对称性,得例5.计算二重积分其中:(2)D由直线围成.21(2)提示:两部分说明:若不用对称性,需分块积分以去掉绝对值符号.作辅助线将D分成在第一象限部分.其中D为圆域22解：例6计算用极坐标计算。

5、对称。如图D是关于直线23例7.计算积分解:原式24例8计算，其中解：256、三重积分的定义定义.设存在,称为体积元素,若对作任意分割:任意取点则称此极限为函数在上的三重积分.在直角坐标系下常写作下列“乘积和式”极限记作267、三重积分的几何意义8、三重积分的性质类似于二重积分的性质．27投影法方法1.三次积分法设区域9、三重积分的计算28方法2.截面法(“先二后一”)为底,dz为高的柱形薄片质量为该物体的质量为记作29(２)柱面坐标(３)球面坐标30例如计算：设轮换对称：315)已知则提示:其形心为其体积为326)设在

6、柱坐标系下,有则提示:33例1：计算解由轮换对称有设34解例2被积函数仅为z的函数，截面为圆域：故采用“先二后一”的方法。35例3.计算其中D由所围成.解:令(如图所示)显然,36三、重积分的应用1.几何方面面积(平面域或曲面域),体积,形心质量,转动惯量,质心,引力证明某些结论等2.物理方面3.其它方面37例3.计算其中是曲线绕轴旋转一周而成的曲面面所围的立体。解：绕轴旋转得由旋转面方程为所围成的立体如图.与两平38解法1.用“先二后一”计算例4.计算其中是曲线绕轴旋转一周而成的曲面面所围的立体。与两平旋转面方程为39所

7、围成立体的投影区域如图，解法2.(用柱坐标计算)旋转面方程为40旋转面方程为41或旋转面方程为427(1).计算积分其中是两个球(R>0)的公共部分.提示:由于被积函数缺x,y,原式=利用“先二后一”计算方便.P124437(3).计算三重积分其中是由xoy平面上曲线所围成的闭区域.提示:绕x轴旋转而成的曲面与平面P183原式＝447(3).计算三重积分其中是由xoy平面上曲线所围成的闭区域.提示:原式绕x轴旋转而成的曲面与平面P183利用柱坐标45证明:提示:左端积分区域如图,交换积分顺序即可证得.P1824.46(

8、2)质心若物体为占有xoy面上区域D的平面薄片,(A为D的面积)得D的形心坐标:则它的质心坐标为其面密度47例1.在均匀的半径为R的圆形薄片的直径上,要接上一个一边与直径等长的同样材料的均匀矩形薄片,矩形薄片的另一边长度应为多少?提示:建立坐标系如图.由对称性知由此解得问接上去的均匀即有使