同济版大一高数下第七章习题课讲课教案.ppt

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1、高等数学第三十三讲1一阶微分方程的习题课(一)一、一阶微分方程求解二、解微分方程应用问题解法及应用第七章2一、一阶微分方程求解1.一阶标准类型方程求解关键:辨别方程类型,掌握求解步骤2.一阶非标准类型方程求解(1)变量代换法——代换自变量代换因变量代换某组合式(2)积分因子法——选积分因子,解全微分方程四个标准类型:可分离变量方程,齐次方程,线性方程,全微分方程3例1.求下列方程的通解:将方程改写为(贝努里方程)解通解4方法1这是一个齐次方程.方法2化为微分形式故这是一个全微分方程.5例2.设F(x)＝f(x)g(x),其中函数f(x),g

2、(x)在(－∞,+∞)内满足以下条件:(1)求F(x)所满足的一阶微分方程;(03考研)(2)求出F(x)的表达式.解:(1)所以F(x)满足的一阶线性非齐次微分方程:6(2)由一阶线性微分方程解的公式得于是例2.设F(x)＝f(x)g(x),其中函数f(x),g(x)在(－∞,+∞)内满足以下条件:7练习题:P353题2求以为通解的微分方程.提示:消去C得P353题3求下列微分方程的通解:提示:令u=xy,化成可分离变量方程:提示:原式：8提示:可化为关于x的一阶线性方程提示:为贝努里方程,令提示:为全微分方程,通解微分倒推公式9练习题:

3、P354题5.已知某曲线经过点(1,1),轴上的截距等于切点的横坐标,求它的方程.提示:设曲线y=f(x)上的动点为M(x,y),令X=0,得截距由题意知微分方程为即定解条件为此点处切线方程为它的切线在纵切线上的动点为(X,Y),10二阶微分方程的习题课(二)二、微分方程的应用解法及应用一、两类二阶微分方程的解法第七章11一、两类二阶微分方程的解法1.可降阶微分方程的解法—降阶法令令逐次积分求解122.二阶线性微分方程的解法常系数情形齐次非齐次代数法13解答提示P353题2求以为通解的微分方程.提示:由通解式可知特征方程的根为故特征方程为因

4、此微分方程为P352题3求下列微分方程的通解提示:令则方程变为14P354题4(2)求解提示:令则方程变为积分得利用再解并利用定常数思考若问题改为求解则求解过程中得问开方时正负号如何确定?15解特征方程对应的齐次方程的通解为例1原方程的一个特解为故原方程的通解为设原方程的特解为16故原方程的通解为例1由解得所以原方程满足初始条件的特解为17例2:设提示:对积分换元,则有解初值问题:答案:18例3：设f(x)具有二阶连续导数且为一全微分方程，求此微分方程的通解。解令解得令特解19利用通解20例4有特而对应齐次方程有解及微分方程的通解.解:将故

5、所给二阶非齐次方程为方程化为设二阶非齐次方程一阶线性非齐次方程21故再积分得通解复习:一阶线性微分方程通解公式22例5(1)验证函数满足微分方程(2)利用(1)的结果求幂级数的和.解:(1)(02考研)23所以(2)由(1)的结果可知所给级数的和函数满足其特征方程:特征根:∴齐次方程通解为设非齐次方程特解为代入原方程得故非齐次方程通解为24代入初始条件可得故所求级数的和25