同济版大一高数下第十二章第七节傅立叶级数课件.ppt

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1、高等数学第三十二讲1第七节一、三角级数及三角函数系的正交性二、函数展开成傅里叶级数三、正弦级数和余弦级数第十二章傅里叶级数2问题的提出非正弦周期函数:矩形波是由不同频率正弦波逐个叠加345678一、三角级数及三角函数系的正交性简单的周期运动:(谐波函数)(A为振幅,复杂的周期运动:令得函数项级数为角频率,φ为初相)(谐波迭加)称上述形式的级数为三角级数.9定理1.组成三角级数的函数系证:同理可证:正交,上的积分等于0.即其中任意两个不同的函数之积在10上的积分不等于0.且有但是在三角函数系中两个

2、相同的函数的乘积在11二、函数展开成傅里叶级数定理2.设f(x)是周期为2的周期函数,且右端级数可逐项积分,则有证:由定理条件,①②对①在逐项积分,得12(利用正交性)类似地,用sinkx乘①式两边,再逐项积分可得13叶系数为系数的三角级数①称为的傅里叶系数;由公式②确定的①②以的傅里的傅里叶级数.称为函数14定理3(收敛定理,展开定理)设f(x)是周期为2的周期函数,并满足狄利克雷(Dirichlet)条件:1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;2)在一个周期内只有有限个极值点,则f

3、(x)的傅里叶级数收敛,且有x为间断点其中(证明略)为f(x)的傅里叶系数.x为连续点注意:函数展成傅里叶级数的条件比展成幂级数的条件低得多.15例1.设f(x)是周期为2的周期函数,它在上的表达式为解:先求傅里叶系数将f(x)展成傅里叶级数.16171)根据收敛定理可知,时,级数收敛于2)傅氏级数的部分和逼近说明:f(x)的情况见右图.18例2.上的表达式为将f(x)展成傅里叶级数.解:设f(x)是周期为2的周期函数,它在1920说明:当时,级数收敛于例2.上的表达式为设f(x)是周期为2

4、的周期函数,它在21周期延拓傅里叶展开上的傅里叶级数定义在[–,]上的函数f(x)的傅氏级数展开法其它22例3.将函数级数.则解:将f(x)延拓成以展成傅里叶2为周期的函数F(x),23例3.将函数级数.展成傅里叶24例4.展式为则其中系数提示:利用“偶倍奇零”的傅里叶级数25三、正弦级数和余弦级数1.周期为2的奇、偶函数的傅里叶级数定理4.对周期为2的奇函数f(x),其傅里叶级数为周期为2的偶函数f(x),其傅里叶级数为余弦级数,它的傅里叶系数为正弦级数,它的傅里叶系数为26例5.设

5、的表达式为f(x)＝x,将f(x)展成傅里叶级数.是周期为2的周期函数,它在解:若不计周期为2的奇函数,因此27n＝1根据收敛定理可得f(x)的正弦级数:级数的部分和n＝2n＝3n＝4逼近f(x)的情况见右图.n＝5282.在[0,]上的函数展成正弦级数与余弦级数周期延拓F(x)f(x)在[0,]上展成周期延拓F(x)余弦级数奇延拓偶延拓正弦级数f(x)在[0,]上展成29例6.将函数分别展成正弦级数与余弦级数.解:先求正弦级数.去掉端点,将f(x)作奇周期延拓,30注意:在端点x=0,

6、,级数的和为0,与给定函数因此得f(x)=x+1的值不同.31再求余弦级数.将则有作偶周期延拓,32说明:令x=0可得即33内容小结1.周期为2的函数的傅里叶级数及收敛定理其中注意:若为间断点,则级数收敛于342.周期为2的奇、偶函数的傅里叶级数奇函数正弦级数偶函数余弦级数3.在[0,]上函数的傅里叶展开法作奇周期延拓,展开为正弦级数作偶周期延拓,展开为余弦级数1.在[0,]上的函数的傅里叶展开法唯一吗?答:不唯一,延拓方式不同级数就不同.思考与练习35思考与练习1.将函数展开为傅立叶级

7、数时为什么最好画出其图形?答:易看出奇偶性及间断点,2.计算傅立叶系数时为什么有些系数要单独算?答:用系数公式计算时,如出现某些正整数作分母,这些正整数对应的系数就必须单独计算.从而便于计算系数和写出收敛域.36处收敛于2.则它的傅里叶级数在在处收敛于.提示:设周期函数在一个周期内的表达式为,373.写出函数傅氏级数的和函数.答案:38傅里叶(1768–1830)法国数学家.他的著作《热的解析理论》(1822)是数学史上一部经典性书中系统的运用了三角级数和三角积分,他的学生将它们命名为傅里叶级数和

8、傅里叶积分.最卓越的工具.以后以傅里叶著作为基础发展起来的文献,他深信数学是解决实际问题傅里叶分析对近代数学以及物理和工程技术的发展都产生了深远的影响.39狄利克雷(1805–1859)德国数学家.对数论,数学分析和数学物理有突出的贡献,是解析数论他是最早提倡严格化方法的数学家.函数f(x)的傅里叶级数收敛的第一个充分条件;了改变绝对收敛级数中项的顺序不影响级数的和,举例说明条件收敛级数不具有这样的性质.他的主要的创始人之一,并论文都收在《狄利克雷论文集(1889一1897)中.1