同济版大一高数第十章第四节重积分的应用课件.ppt

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1、第四节一、立体体积二、曲面的面积三、物体的质心四、物体的转动惯量五、物体的引力重积分的应用第十章11.能用重积分解决的实际问题的特点所求量是对区域具有可加性从积分定义出发建立积分式用微元分析法(元素法)分布在有界闭域上的整体量3.解题要点画出积分域、选择坐标系、确定积分序、定出积分限、计算要简便2.用重积分解决问题的方法2曲顶柱体的顶为连续曲面则其体积为一、立体体积3体的体积V.提示:先求曲面的交线在xoy面上的投影域D.所围立消去z得D的边界由例1.求由曲面4例2.求球体公共部分体积.与求两球交线的投影.解：由投影域消去得5例3.求由平面所围成的柱体

2、被平面及旋转抛物面截得的立体的体积V.x+y=1DyxO11解:xzx+y=16yD6例4.求半径为a的球面与半顶角为的内接锥面所围成的立体的体积.解:在球坐标系下空间立体所占区域为则立体体积为7高等数学第十六讲8二、曲面的面积设光滑曲面则面积A可看成曲面上各点处小切平面的面积dA无限积累而成.设它在D上的投影为d,称为面积元素则9故有曲面面积公式若光滑曲面方程为则有即10若光滑曲面方程为若光滑曲面方程为隐式则则有且11例1.计算双曲抛物面被柱面所截解:曲面在xoy面上投影为则出的面积A.12解例21314例3.计算半径为a的球的表面积.解:设球面方

3、程为球面面积元素为方法2利用直角坐标方程.(见书P167)方法1利用球坐标方程.15例4.求由曲面和所围成的体积V和表面积S.解:(1)易求出利用二重积分,得16(2)17三、物体的质心设空间有n个质点,其质量分别由力学知,该质点系的质心坐标设物体占有空间域,有连续密度函数则公式,分别位于为为即:采用“大化小,常代变,近似和,取极限”可导出其质心18将分成n小块,将第k块看作质量集中于点例如,令各小区域的最大直径系的质心坐标就近似该物体的质心坐标.的质点,即得此质点在第k块上任取一点19同理可得则得形心坐标：20若物体为占有xoy面上区域D的平面薄片

4、,(A为D的面积)得D的形心坐标:则它的质心坐标为其面密度—对x轴的静矩—对y轴的静矩21例1.求位于两圆和的形心.解:利用对称性可知而之间均匀薄片22解例2利用对称性23例224例3.计算其中D是由曲所围成的平面域.解:其形心坐标为:面积为:积分区域线形心坐标25四、物体的转动惯量设物体占有空间区域,有连续分布的密度函数该物体位于(x,y,z)处的微元因此物体对z轴的转动惯量:对z轴的转动惯量为因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和,故连续体的转动惯量可用积分计算.26类似可得:对x轴的转动惯量对y轴的转动惯量对原点的转动惯量27如果物体是平面薄

5、片,面密度为则转动惯量的表达式是二重积分.28例1.求半径为a的均匀半圆薄片对其直径解:建立坐标系如图,半圆薄片的质量的转动惯量.29解:取球心为原点,z轴为l轴,则球体的质量例2.求均匀球体对于过球心的一条轴l的转动惯量.设球所占域为(用球坐标)30