第一类曲面积分43673资料讲解.ppt

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1、第一类曲面积分43673二、第一类曲面积分的概念机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束说明：则对面积的曲面积分存在.在光滑曲面上连续,对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似.•积分的存在性.•线性性质.机动目录上页下页返回结束•对积分域的可加性.则有若是分片光滑的,例如分成两片光滑曲面机动目录上页下页返回结束•中值定理.•保号性.关于曲面的轮换对称性：曲面具有轮换对称性是指：曲面关于直线x=y=z对称。如果曲面Σ有轮换对称性，它的方程F(x,y,z)=0有如下特征：将F(x,y,z)中的变量x,y,z的位置任意互换，不会改变F的表达式。机动目录上页下页返回结束•对称性.机动目

2、录上页下页返回结束1、如果曲面Σ有轮换对称性，那么被积函数f(x,y,z)中的变量x,y,z无论怎样互换，积分值不会改变。即2、如果曲面Σ关于平面y=x对称，则曲面Σ关于平面y=z或z=x对称有类似的性质。定理:设有光滑曲面f(x,y,z)在上连续,存在,且有三、对面积的曲面积分的计算法则曲面积分证明:机动目录上页下页返回结束(光滑)机动目录上页下页返回结束则按照曲面的不同情况分为以下四种情形：机动目录上页下页返回结束则则机动目录上页下页返回结束解：机动目录上页下页返回结束例1：由对称性，易知（前后两片投影相同）机动目录上页下页返回结束奇函数单位圆的面积例2：解机动目录上页下页返回结束由轮

3、换对称性例3：设计算解:锥面与上半球面的交线为为上半球面夹于锥面间的部分，则它在xoy面上的投影域为机动目录上页下页返回结束则机动目录上页下页返回结束思考:若此例中被积函数改为计算结果如何?机动目录上页下页返回结束解：球面的参数方程为：四、物理应用机动目录上页下页返回结束称为形心机动目录上页下页返回结束特别地机动目录上页下页返回结束例5：计算其中是球面由轮换对称性：解:显然球心为半径为利用质心公式机动目录上页下页返回结束解：机动目录上页下页返回结束柱面的参数方程为：机动目录上页下页返回结束例7：设有一颗地球同步轨道通讯卫星,距地面高度h=36000km,机动目录上页下页返回结束运行的角速度与

4、地球自转角速度相同,试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比.(地球半径R=6400km)解：建立坐标系如图,覆盖曲面的半顶角为,利用球面参数方程，则卫星覆盖面积为机动目录上页下页返回结束故通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比为由以上结果可知,卫星覆盖了地球以上的面积,故使用三颗相隔角度的通讯卫星就几乎可以覆盖地球全表面.说明:此题也可用二重积分求A(见下册P188例1).内容小结1.定义:2.计算:设则(曲面的其他两种情况类似)注意：要充分利用球面参数方程、柱面参数方程、对称性、质心公式等简化计算。机动目录上页下页返回结束习题9-4(P276)3，5，6，9，10，11第五节目录上页下页

5、返回结束作业备用题1.已知曲面壳求此曲面壳在平面z＝1以上部分的面密度的质量M.解:在xoy面上的投影为故机动目录上页下页返回结束2.设是四面体的表面,计算解:在四面体的四个面上同上平面方程投影域机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束3、解：机动目录上页下页返回结束解：机动目录上页下页返回结束依对称性知机动目录上页下页返回结束5、计算其中是介于平面之间的圆柱面分析:若用直角坐标将曲面分为前后解1:利用参数方程计算(或左右)两片,则计算较繁.机动目录上页下页返回结束柱面的参数方程为：机动目录上页下页返回结束5、计算其中是介于平面之间的圆柱面则解2:微元法，取曲面面积元素机动目

6、录上页下页返回结束6、计算其中是球面被平面截出的顶部.解:机动目录上页下页返回结束思考:若是球面被平行平面z=±h截出的上下两部分,则机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束解由题设机动目录上页下页返回结束解：设半球面的面密度为由对称性知：所求质心坐标为解:9、机动目录上页下页返回结束由轮换对称性：此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢