第四节第一类曲面积分.ppt

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1、第四节一、对面积的曲面积分的概念与性质二、对面积的曲面积分的计算法第一类（对面积）曲面积分第十一章所谓曲面光滑：曲面上各点处都有切平面,且当点在曲面上连续移动时,切平面也连续转动.若的密度是均匀的，即则一、第一类（对面积）曲面积分的概念与性质引例:设光滑曲面形构件具有连续面密度求质量M.若曲面为不均匀的，则类似求平面薄板质量的思想,采用“大化小,常代变,近似和,求极限”分割：用一组曲线网将分成n个小曲面近似并作和，求质量的近似值取极限，求质量的精确值其中,表示n小块曲面的直径的最大值(曲面的直径为其上任意两点

2、间距离的最大者).定义：设曲面是光滑的，f(x,y,z)在上有界首先，用任意一组曲线网将分成n个小曲面直径分别为：其次，在每个小曲面并取若上任意取一点作乘积并作和存在，且与的分法及点的取法无关，则称该极限为f(x,y,z)在上对面积的曲面积分，或第一类曲面积分.其中f(x,y,z)叫做被积•曲面形构件的质量为曲面面积为记作函数,叫做积分曲面.即几点说明：•对面积的曲面积分具有以下两个主要特征积分和是在曲面上作出的；积分和中的微元素是小块曲面的面积。则对面积的曲面积分存在.•对积分域的可加性.则有•不等

3、式性质.在光滑曲面上连续,对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似.•积分的存在性.若是分片光滑的,例如分成两片光滑曲面若在上，及定理:设有光滑曲面f(x,y,z)在上连续,存在,且有二、对面积的曲面积分的计算法则曲面积分计算的关键是曲面积元素dS即：第一类曲面积分的计算分解为二重积分的计算曲面积元素设光滑曲面则面积S可看成曲面上各点处小切平面的面积dA无限积累而成.设dA对应在D上的投影为d,(称为面积元素)则根据面积元素公式得曲面面积公式若光滑曲面方程为则有即（2）确定在xoy面上的投影区域（3）

4、将曲面方程及代入中即可。（1）确定的方程:一投、二代、三换若光滑曲面说明:1)如果曲面方程为3)若曲面为参数方程,只要求出在参数意义下dS的表达式,也可将对面积的曲面积分转化为对参数的二重积分.2）若是xoy面上的一个闭区域D时，则例1.计算曲面积分其中是球面被平面截出的顶部.解:思考:若是球面被平行平面z=±h截出的上下两部分,则例2.计算其中是由平面坐标面所围成的四面体的表面.解:设上的部分,则与原式=分别表示在平面在前3个曲面上被积函数为0例3.设计算解:锥面与上半球面交线为为上半球面夹于锥面间的

5、部分,它在xoy面上的投影域为则思考:若例3中被积函数改为计算结果如何?解：依对称性求曲面积分例4.计算为抛物面（）.为第一卦限部分曲面例5.解:平面及所围成的空间立体的表面.解:（1）（2）例5.平面及所围成的空间立体的表面.对称性解:（3）显然关于xoz面对称，被积函数关于y为偶函数，所以为位于xoz面右边的半片即例5.平面及所围成的空间立体的表面.解:例5.及所围成的空间立体的表面.平面（3）若不利用对称性，如何计算？例6.解：方法1关于三个坐标面均对称而被积函数关于x,y,z均是偶函数所以例6.解：方法2

6、坐标轮换性的方程关于x,y,z对称，故重要技巧：利用曲面方程化简被积函数。例6.解：例7.计算其中是球面利用对称性可知解:显然球心为半径为利用重心公式例8.计算其中是介于平面之间的圆柱面分析:若将曲面分为前后(或左右)则解:取曲面面积元素两片,则计算较繁.内容小结1.定义:2.计算:设则(曲面的其他两种情况类似)注意利用球面坐标、柱面坐标、对称性、重心公式简化计算的技巧.例1.设一卦限中的部分,则有().(2000考研)备用题1.已知曲面壳求此曲面壳在平面z＝1以上部分的的面密度质量M.解:在xoy面上的

7、投影为故2.设是四面体面,计算解:在四面体的四个面上同上平面方程投影域P180习题11-4:3,7,8,11作业