第一类曲面积分 ppt课件.ppt

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1、对面积的曲面积分一、对面积的曲面积分的概念和性质前面已经介绍了两类曲线积分，对第一类曲线积分其物理背景是曲线型构件的质量，在此质量问题中若把曲线改为曲面，线密度改为面密度，小段曲线的弧长改为小块曲面的面积，相应地得和式抽象概括得到对面积的曲面积分的概念实例所谓曲面光滑即曲面上各点处都有切平面,且当点在曲面上连续移动时,切平面也连续转动.1.定义其物理背景是面密度为f(x,y,z)的曲面块的质量2.对面积的曲面积分的性质由上述定义可知其性质与对弧长的曲线积分的性质完全类似ⅰ）线性性ⅱ）可加性ⅲ）存在性二、对面积的曲线积分的计算法按照曲

2、面的不同情况分为以下三种：则则则这就是把对面积的曲面积分化为二重积分的计算公式简述为：一代、二换、三投影代：将曲面的方程代入被积函数换：换面积元投影：将曲面投影到坐标面得投影区域注：（1）这里积分曲面的方程必须是单值显函数，否则可利用可加性，分块计算，结果相加（2）把曲面投影到哪一个坐标面，取决于曲面方程即方程的表达形式（3）将曲面的方程代入被积函数的目的和意义是把被积函数化为二元函数（4）切记任何时候都要换面积元例1解例2计算与平面z=1所围成的区域的整个边界曲面解在xoy内的投影区域oxyz例3计算z=0与z=H之间的圆柱面解由

3、对称性有例4解依对称性知：注对面积的曲面积分有类似与三重积分的对称性对称于xoy（或yoz，或zox）坐标面若f（x,y,z)关于z（或x，或y）是奇函数若f（x,y,z)关于z（或x，或y）是偶函数完全类似于三重积分的对称性例5计算解例6解（左右两片投影相同）例8求均匀曲面的重心坐标解由对称性故重心坐标为例10计算解由奇偶对称性上半球面下半球面注对面积的曲面积分的应用面积质量重心转动惯量三、小结1、对面积的曲面积分的概念;2、对面积的曲面积分的解法是将其化为投影域上的二重积分计算.（按照曲面的不同情况分为三种）对坐标的曲面积分一、

4、基本概念观察以下曲面的侧(假设曲面是光滑的)曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧曲面的分类:1.双侧曲面;2.单侧曲面.典型双侧曲面典型单侧曲面:莫比乌斯带曲面法向量的指向决定曲面的侧.决定了侧的曲面称为有向曲面.曲面的投影问题:类似地可定义二、概念的引入实例:流向曲面一侧的流量.1.分割则该点流速为.法向量为.2.求和3.取极限两类曲面积分之间的联系向量形式三、概念及性质积分曲面被积函数有向面积元类似可定义存在条件:组合形式:物理意义:性质:由定义可知对坐标的曲面积分具有与对坐标的曲线积分相类似的性质1。可加性2。反向性四、对坐标的曲

5、面积分的计算法注意:对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧.这就是把对坐标的曲面积分化成二重积分的计算公式概括为：代：将曲面的方程表示为二元显函数，然后代入被积函数，将其化成二元函数投：将积分曲面投影到与有向面积元素（如dxdy）中两个变量同名的坐标面上（如xoy面）定号：由曲面的方向，即曲面的侧确定二重积分的正负号一代、二投、三定号注积分曲面的方程必须表示为单值显函数否则分片计算，结果相加②确定正负号的原则：曲面取上侧、前侧、右侧时为正曲面取下侧、后侧、左侧时为负例1计算所截得的在第一卦限的部分的前侧解解例2例3计算平面x=0,y

6、=0,z=0,x+y+z=1所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧oxyz解分成四个部分左侧下侧后侧上侧同理同理注对坐标的曲面积分的对称性被积表达式具有轮换对称性，即将被积表达式中的所有字母按xyz顺序代换后原式不变积分曲面及其侧具有对称性，这是指曲面在各坐标面上的投影区域均相同，且配给的符号也相同例4解注此例的解法具有普遍性六、小结1、物理意义2、计算时应注意以下两点曲面的侧“一投,二代,三定号”Gauss公式前面我们将Newton-Lebniz公式推广到了平面区域的情况，得到了Green公式。此公式表达了平面闭区域上的二重积分与其

7、边界曲线上的曲线积分之间的关系。下面我们再把Green公式做进一步推广，这就是下面将要介绍的Gauss公式，Gauss公式表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系，同时Gauss公式也是计算曲面积分的一有效方法。一、Gauss公式定理oxyz证明首先假设穿过内部且平行于坐标轴的直线与的边界曲面的交点恰好为两个以投影区域的边界曲线为准线，母线平行与坐标轴的柱面上介于上下边界曲面之间的部分根据三重积分的计算法根据曲面积分的计算法同理合并以上三式得：——————高斯公式由两类曲面积分之间的关系知Gauss公式的实质表

8、达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系.注不满足上述条件，可以引进若干张辅助曲面分成几个有限的小区域使之都满足上述条件注意到沿辅助曲面相反两侧的两个曲面积分绝对值相等，而符号相反，相加时正好抵消，因此上述公式对这