《曲面积分》PPT课件

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1、1．对弧长的曲线积分2．对坐标的曲线积分3．对面积的曲面积分4．对坐标的曲面积分5．基本公式：格林公式、高斯公式和斯托克斯公式一、本章要点1．对弧长的曲线积分积分形式积分方法(1)平面曲线积分(1)平面曲线积分(2)空间曲线积分直角坐标系：设曲线，其中具有连续导数，则参数方程：设曲线，其中具有连续导数，则极坐标：设曲线，其中具有连续导数，则(2)空间曲线积分具有连续导数，则设曲线，其中2．对坐标的曲线积分积分形式(1)平面曲线设有向曲线，则曲线积分为(2)空间曲线设有向曲线，则曲线积分为积分方法(1)平面曲线具有连续导数，则设曲线为，其中(2)空间曲线设曲

2、线，其中具有连续导数，则3．对面积的曲面积分积分形式积分方法设曲面的方程为在面上投影区域为，则4．对坐标的曲面积分其中：上侧取正，下侧取负．积分形式积分方法设曲面的方程为在面上投影区域为，则5．基本公式1)格林公式曲线积分与路径无关条件：曲线积分设是平面上的有界闭区域，函数在上有连续偏导，则与路径无关此时全微分求积满足为全微分此时2)高斯公式设是空间的有界闭区域，函数在上有连续偏导，则向量场的散度3)斯托克斯公式设为分片光滑曲面，函数在上有连续偏导，则向量场的旋度课内练习:计算其中L为圆周提示:利用极坐标,原式=说明:若用参数方程计算,则P246题3(1)

3、计算其中L为摆线上对应t从0到2的一段弧.提示:P246题3(3)计算其中由平面y=z截球面提示:因在上有故原式=从z轴正向看沿逆时针方向.P246题3(6)计算其中L为上半圆周提示:沿逆时针方向.(也可直接用Green公式.)P246题3(5)求力沿有向闭曲线所作的功,其中为平面x+y+z=1被三个坐标面所截成三提示:方法1从z轴正向看去沿顺时针方向.利用对称性角形的整个边界,P247题11设三角形区域为,方向向上,则方法2利用斯托克斯公式(三)对面积的曲面积分的计算:1.化成二重积分:一投、二代、三变换(1)确定曲面的单值函数的表达式;(2

4、)将曲面向作为自变量的两变量所确定的坐标平面投影,得投影区域;(3)将曲面方程代入被积函数和曲面面积元素dS中,得二重积分的被积表达式,曲面在坐标面上的投影区域为二重积分的积分区域;(4)计算二重积分.例1解例22.特殊计算法:解由对称性，解依对称性知：例3例4解练习计算曲面积分中是球面解利用对称性用重心公式利用轮换对称性简化第一类曲面积分轮换不变性若曲面△有轮换对称性,则△上的第一类曲面积分有轮换不变性.例5解由积分的轮换不变性知(四).对坐标的曲面积分的计算:1.化为二重积分:一投、二代、三定号(1)选准曲面的投影方向;(2)将曲面的方程表示成相应变

5、量的单值函数,代入被积函数中去;(3)根据曲面的侧的方向确定二重积分的符号.例6解利用两类曲面积分之间的关系2.利用两类曲面积分之间的联系:3.利用Gauss公式:例7解由Gauss公式，例8解由Gauss公式，练习:其中为半球面的上侧.且取下侧,提示:以半球底面原式=P246题4(2)同样可利用高斯公式计算.记半球域为,高斯公式有计算为辅助面,利用P246题4(3)例9设为曲面取上侧,求解作取下侧的辅助面用柱坐标用极坐标合一投影法将三种类型的积分转化为同一个坐标面上的二重积分.另两种情形类似作业第十一章大作业