《曲面积分习题》PPT课件

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1、曲面积分习题课主要内容典型例题（一）曲线积分与曲面积分（二）各种积分之间的联系（三）场论初步一、主要内容曲线积分曲面积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分定义计算定义计算联系联系（一）曲线积分与曲面积分曲面积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分定义联系计算一代,二换,三投(与侧无关)一代,二投,三定向(与侧有关)定积分曲线积分重积分曲面积分计算计算计算Green公式Stokes公式Guass公式（二）各种积分之间的联系积分概念的联系定积分二重积分曲面积分曲线积分三重积分曲线积分计算上的联系其中理论上的联系1.定积分与不定积分的联系

2、牛顿--莱布尼茨公式2.二重积分与曲线积分的联系格林公式3.三重积分与曲面积分的联系高斯公式4.曲面积分与曲线积分的联系斯托克斯公式Green公式,Guass公式,Stokes公式之间的关系或推广推广或梯度通量旋度环流量散度（三）场论初步二选择判断CBCCB若分片光滑的闭曲面Σ0其中注补充x的偶函数x的奇函数曲面Σ不封闭也可以.取外侧(内侧仍成立),那末关于yOz平面对称,例其中Σ:解关于yOz面对称,被积函数关于x为偶函数.下侧.关于zOx面对称,被积函数关于y为偶函数.原式=三、典型例题解所以例.计算曲面积分中是球面解:利用对称性用重心公式(曲面关于x

3、oz面对称）对坐标的曲面积分的计算法1.利用高斯公式具有则外侧.一阶连续偏导数,2.通过投影化为二重积分注意的确定!3.向量点积法(化为同一组坐标积分）证明由高斯公式，得到解由高斯公式，得到被积函数中有抽象函数,故无法直接计算.如直接计算分析用高斯公式.例Σ是锥面所围立体的表面计算设f(u)是有连续的导数,计算和球面及外侧.解由于故由高斯公式=球例解利用向量点积法用高斯公式.补面：取下面，取上面。则构成封闭曲面，且取外侧。计算由高斯公式法2：注意：若用柱面坐标计算三重积分，要分区域考虑。例解1上侧.化为同一积分组坐标的积分利用两类曲面积分之间的关系解2例.设

4、L是平面与柱面的交线从z轴正向看去,L为逆时针方向,计算解:记为平面上L所围部分的上侧,D为在xoy面上的投影.由斯托克斯公式其中的上侧.且取下侧,提示:以半球底面原式=记半球域为,高斯公式有计算为辅助面,利用为半球面例例.证明:设(常向量)则单位外法向向量,试证设为简单闭曲面,a为任意固定向量,n为的测　验　题测验题答案