10-4第一类曲面积分

《10-4第一类曲面积分》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、第十章第四节第一类曲面积分一、问题的提出二、第一类曲面积分的概念与性质三、第一类曲面积分的计算机动目录上页下页返回结束一、问题的提出例：设曲面形构件具有连续面密度求质量M.类似求平面薄板质量的思想,采用z(k,k,k)“分割，近似,求和,取极限”的方法,可得nMk1oy其中,表示n小块曲面的直径的x最大值(曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).机动目录上页下页返回结束二、第一类曲面积分的概念定义：设曲面是光滑的,函数f(x,y,z)在上有定义，把分成n小块S（S同时也表示第i小块曲ii面的面积），在S上任意取

2、定一点(,,)，做和iiiinf(i,i,i)Si，令max{Si的直径}，若不论Si怎1ini1样分及点(,,)怎样取，这和式的极限都存在,则称此iii极限值为函数f(x,y,z)在曲面上对面积的曲面积分或第一类曲面积分.记为f(x,y,z)dS，即nf(x,y,z)dSlimf(i,i,i)Si0i1其中f(x,y,z)叫做被积函数，叫积分曲面.dS叫面积元素.机动目录上页下页返回结束说明：（1）曲面的质量：m(x,y,z)dS（2）若f(x,y,z)

3、1，则dS的面积。（3）若是封闭曲面，则积分号记为。对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似.•积分的存在性.在光滑曲面上连续,则对面积的曲面积分存在.机动目录上页下页返回结束•线性性质.kf(x,y,z)kg(x,y,z)dS12kf(x,y,z)dSkg(x,y,z)dS12•对积分域的可加性.若是分片光滑的,例如分成两片光滑曲面,,则有12f(x,y,z)dSf(x,y,z)dS1机动目录上页下页返回结束•中值定理.若函数f(x,y,z)在曲面上连续，则在上至少

4、存在一点(x,y,z)，使得000f(x,y,z)dSf(x,y,z)S，其中S表示的面积。000•保号性.若在曲面上，f(x,y,z)g(x,y,z)，则f(x,y,z)dSg(x,y,z)dS若存在(x,y,z)，使f(x,y,z)g(x,y,z)，000000000则f(x,y,z)dSg(x,y,z)dS特别地，f(x,y,z)dS

5、f(x,y,z)

6、dS机动目录上页下页返回结束•对称性.第一类曲面积分的奇偶对称性及轮换对称性与三重积分类似。关于曲面的轮换对称性：曲面具有

7、轮换对称性是指：曲面关于直线x=y=z对称。如果曲面Σ有轮换对称性，它的方程F(x,y,z)=0有如下特征：将F(x,y,z)中的变量x,y,z的位置任意互换，不会改变F的表达式。机动目录上页下页返回结束1、如果曲面Σ有轮换对称性，那么被积函数f(x,y,z)中的变量x,y,z无论怎样互换，积分值不会改变。即f(x,y,z)dSf(z,x,y)dSf(y,z,x)dSf(x,z,y)dS2、如果曲面Σ关于平面y=x对称，则f(x,y,z)dSf(y,x,z)dS曲面Σ关于平面y=z或z=x对

8、称有类似的性质。机动目录上页下页返回结束三、对面积的曲面积分的计算法z定理:设有光滑曲面f(x,y,z)在上连续,则曲面积分oyDf(x,y,z)dS存在,且有xxy(k)xy(,,)kkkf(x,y,)Dxyn证明:把分成n个小区面limSk，设Sk在xoy平面上的投影为()，0k1kxy机动目录上页下页返回结束221z(x,y)z(x,y)dxdyxy(k)xy221z(,)z(,)()xkkykkkxynlim0k1f(,,z(,))k

9、kkk221z(,)z(,)()xkkykkkxy(光滑)22f(x,y,)1z(x,y)z(x,y)dxdyxyDxy机动目录上页下页返回结束按照曲面的不同情况分为以下四种情形：1.若曲面:zz(x,y)则fxyzdS(,,)22f[x,y,z(x,y)]1zzdxdy;xyDxy2.若曲面：yy(x,z)22则f(x,y,z)dSf[x,y(x,z),z]1yydxdz;xzDxz3.若曲面：xx(y,z)22则f(x,y,z)dSf[x(

10、y,z),y,z]1xyxzdydz.Dyz机动目录上页下页返回结束4．若曲面的方程为：xx(u,v)，yy(u,v)，zz(u,v)，(u,v)D，则