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《10-4第一类曲面积分_6026_1628_20130424001008》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、一、概念的引入实例若曲面S是光滑的,它的面密度为连续函数m(x,y,z),求它的质量.所谓曲面光滑解第一步:将Σ分为许多极其微小的子域,即曲面上各点处都以dS为代表,取(x,y,z)有切平面ÎdS,则,且当点在dS的质量为:DM»dM曲面上连续移动时=m(x,y,z)dS,切平面也连续转动.第二步:求和取极限M=òòm(x,y,z)dSSzS:z=z(x,y)DS·二、对面积的曲面积分的i定义(x,h,z)iii1.定义定义设曲面Σ是ODyxy函数f(x,y,z)在Σ上(Dsi)xy·(xi,hi,)光滑的,x有界.(1)把Σ任意分成n小块ΔSi(ΔSi同
2、时也表示第i小块曲面的面积),(2)设点(xi,hi,zi)为DSi上任意取定的点,作乘积f(xi,hi,zi)DSi,(3)并作和nåf(xi,hi,zi)DSi,(4)如果当各小块曲面的直径i=1的最大值l®0时,这和式的极限存在,则3n称åf(xi,hi,zi)×DSi极限为函数f(x,y,z)在i=1曲面Σ上对面积的曲面积分或第一类曲面积分.记为òòf(x,y,z)dS.即Snòòf(x,y,z)dS=limåf(xi,hi,zi)DSil®0Si=1积分曲面被积函数曲面面积元素如曲面是闭曲面,则积分号写成òòS42.存在条件定理若Σ是分片光滑曲面
3、,函数f(x,y,z)在光滑曲面Σ上连续(或除有限条分段光滑曲线外,f(x,y,z)在Σ上连续,且在Σ上有界),则函数f(x,y,z)在Σ上的第一类(对面积)曲面积分存在.今后,假定f(x,y,z)在Σ上连续.3.对面积的曲面积分的性质若Σ可分为分片光滑的曲面Σ1及Σ2,则òòf(x,y,z)dS=òòf(x,y,z)dS+òòf(x,y,z)dS.SS1Σ254.对面积的曲面积分的几何意义当f(x,y,z)=1时,空间曲面Σ的面积:22A=1×dS=1+z+zdsòòòòxySD5.对面积的曲面积分的物理意义面密度为连续函数m(x,y,z)的光滑曲面S的
4、质量M为:M=òòm(x,y,z)dS;S1其质心坐标为:x=òòxm(x,y,z)dS,MS11y=òòym(x,y,z)dS,z=òòzm(x,y,z)dS.MMSS6补充设分片光滑的曲面Σ关于yOz面对称,则òòf(x,y,z)dSSì0,当f(x,y,z)为x的奇函数=íî2òòf(x,y,z)dS.当f(x,y,z)为x的偶函数S1其中S:x=x(y,z)³0.122222例求òòxdS,S:x+y+z=aS提示积分曲面方程中的变量x、y、z具有轮换对称性,即三个变量轮换位置方程不变.2222解轮换对称òò(x+y+z)dS=3òòxdSSS21
5、222òòxdS=òò(x+y+z)dS3SS212a2=òòadS=4pa33S研究生考题(选择题3分)2222设Σ:x+y+z=a(z³0),Σ1为Σ在第一卦限中的部分,则有z(A)òòxdS=4òòxdS.(B)òòydS=4òòydS.SS1ΣΣ1Oy(C)òòzdS=4òòxdS.(D)òòxyzdS=4òòxxyzdS.SS1SS1分析反观S(C关于),其平面左端y的被积函数Oz与xOz对称f(,x而,y(,Az))(=B)z(D)(x与y左端不出现的被积函数或)可看作x或y关于的偶x函数是奇,函数或故有关于y是奇函数.故(A)(B)(D)òò
6、左端zd的积分S=4òò均z为dS0,而右端的积分均大于0.因此(A)(BS)(D)均不成S立.1又S反观有轮换(C),对其称左端性,故的被积函数zdS=f(xxd,yS,,z从而选)=z(x与(Cy).1òòòò不出现)可看作x或y的偶S函数1,故有S19三、对面积的曲面积分的计算法思想是:化为二重积分计算.按照曲面的不同情况分为以下四种:(1)若曲面Σ:z=z(x,y)曲面的面积元素22dS=1+z+zdxdy则òòf(x,y,z)dSxyS将曲面方程代入被积函数22=f[x,y,z(x,y)]1+z+zdxdyòòxyDxy曲面Σ选好投影面算出曲面面
7、积元素10(2)若曲面Σ:y=y(x,z)则òòf(x,y,z)dSS22=f[x,y(x,z),z]1+y+ydxdzòòxzDxz(3)若曲面Σ:x=x(y,z)则òòf(x,y,z)dSS22=òòf[x(y,z),y,z]1+xy+xzdydzDyz11对面积的曲面积分时,首先应根据曲面Σ选好投影面,确定投影域并写出曲面Σ的方程,然后算出曲面面积元素;最后将曲面方程代入被积函数,化为二重积分进行计算.对称性例计算òò(x+y+z)dS,其中S为平面y+z=5S22被柱面x+y=25所截得的部分.z解曲面S:z=5-y22投影域:Dxy={(x,y)
8、
9、x+y£25}O故òò(x+y+z)dSxyS=2òò(x+y+
