2007-2008第二学期线代试卷B及答案.doc

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1、武汉理工大学考试试题纸（B卷）课程名称线性代数专业班级全校07级本科题号一二三四五六七八九十总分题分121236151510100备注:学生不得在试题纸上答题(含填空题、选择题等客观题)一、单项选择题（每小题3分，共12分）1、设是三维列向量，且，那么；(A)0(B)1(C)(D)不能确定2、设为阶方阵，且，则下列选项中错误的是___________。(A)可逆(B)可逆(C)可逆(D)可逆3、已知有非零解，则；(A)4；(B)3；(C)2；(D)不能确定4、设A为m矩阵，方程AX=0仅有零解的充分必要条件是（　　　）（A）A的行向量组线性无关

2、(B)A的行向量组线性相关(C)A的列向量组线性无关(D)A的列向量组线性相关二、填空题（每小题3分，共12分）1、设2阶矩阵A=，则A*A=_____________；2、如果A是3阶可逆矩阵，互换A的第一、第二列，得矩阵B，且，则=____________；3、设为的一个基，则在该基下的坐标为；4、已知阶方阵的行列式为，是其一个特征值，则的伴随矩阵的特征值之一是：_______；三、计算题(每小题9分，共36分)1、计算阶行列式；2、设矩阵，求；3、设向量组，求它的一个最大无关组，并用此最大无关组表示该向量组中的其余向量。4、设A是阶矩阵，

3、满足（是阶单位矩阵，是的转置矩阵）及；求；四、(15分)已知线性方程组（1）为何值时，无解，有唯一解，有无穷多个解？（10分）（2）在有无穷多解时求出其通解（要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示）。（5分）五、（15分）设矩阵，，，为的伴随矩阵。（1）计算矩阵C；（6分）（2）求矩阵C的特征值与特征向量。（9分）六、证明题（每小题5分，共10分）1、设为维列向量，满足，令，证明是对称的正交矩阵；2、已知向量组线性无关，令，，，证明：时向量组线性无关。武汉理工大学教务处试题标准答案及评分标准用纸课程名称:线性代数（B卷）一、选择题（每小题3分

4、，共12分）1、B2、A3、A4、C二、填空题（每小题3分，共12分）1、；2、.；3、（1，1，-1）；4、6；三、1、………………………（6分）…………………………………………………………………………………（9分）2、记，则，……………………………………………………………（2分）又，故…………………………………………………………（4分），故………………………………………………………（6分）所以。…………………………………………………………………（9分）3、记，对A进行行初等变换，将其化为行最简形：～～～…………………（5分），又显然线性无关

5、，所以即为原向量组的一个最大无关组；………………………（7分）且，。………………………………………………………………………………（9分）或取为原向量组的一个最大无关组；且，。取为原向量组的一个最大无关组；且，。取为原向量组的一个最大无关组；且，。4、因为，故，又；所以………………………………………………………（4分）则有，所以……………………………………（9分）四、解～～……………………………….………………………………………………………………….……………..………...（4分）所以当时，方程组有唯一解；…………………………………..…………

6、………………….……...（6分）当时，～，所以方程组无解。…………………...（8分）当时，～；此时原方程组有无穷多解；………………..…………………….…...（10分）有，取得原方程组一个特解；………………..……….……...（12分）；得导出组的基础解系；所以原方程组的通解为：，其中为任意常数。……………………………………………………..……..………...（15分）五、解：，又，所以…………（6分），得矩阵的三个特征值，。…………………………（9分）对，解方程组由于～，即，得的基础解系，；所以矩阵的对应于特征值的所有特征向量为，为不

7、同时为零的常数。…………………………………………………………………………………………………………（12分）对，解方程组由于～，即，得的基础解系；所以矩阵的属于的所有特征向量为，为不为零的常数。………（15分）六、证明题（每小题5分，共10分）1、证明：因为，所以是对称的矩阵；………………………（2分）又，又因为，故；即证得是对称的正交矩阵。…………………………………………………………………………（5分）2、证由题意；当时，有；…（2分）又已知向量组线性无关，则，故可得，所以向量组线性无关。…………………………………………………………………………

8、……………………（5分）