线代试卷07-08线代A卷及答案.doc

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1、华东理工大学2007–2008学年第一学期《线性代数》课程考试试卷A2008.01一、选择题（4分一题，共20分）1.已知n阶方阵A满足A3+A2-2A=O，I是n阶单位阵，则矩阵（B）A.A必可逆；B.A+I必可逆；C.A-I必可逆；D.A+2I必可逆。2.设，，，，则（C）；；；。3.设向量线性无关，线性相关，则（C）必可由线性表出；必不可由线性表出；必可由线性表出；必不可由线性表出。4.已知是非齐线性方程组的两个不同的解，是对应齐次线性方程组的基础解系，为任意常数，则线性方程组的通解必是（B）；；；。5.设是阶方阵的两个不同的特征值，分别是对应于

2、的特征向量，当（D）时，必是的特征向量。且；且；；而。答：1.B;2.C;3.C；4.B;5.D。二、填空题（4分一题，共20分）1．设，第三行元素的代数余子式之和0。2．设向量，，为正整数，则。3．设，为三阶非零矩阵，且，则。4．设为阶方阵，I是阶单位阵，若有特征值，则必有特征值。5．设为阶不可逆矩阵，是的伴随矩阵，的秩，则线性方程组解空间的维数=1三、（8分）计算行列式的值。解：------4’-------4’四、（10分）设三维列向量满足关系式：，又已知行列式，求行列式。解：----2’----2’----2’----2’所以。----2’五、

3、（10分）已知矩阵，且，其中是的伴随矩阵，是三阶单位阵，求矩阵，解：因为，所以，。------2’由。-------4’因此-------4’六、（12分）设向量问当为何值时，（1）可由线性表示，且表示式唯一；（2）不能由线性表示；（3）可由线性表示，且表示式不唯一，此时请写出该表达式前系数的一般形式。解：-------5’（1）-------2’（2）-------2’（3）------2’时，，此时，其中，。-------1’七、（12分）设二次型经正交变换后可化为标准型，其中，。（1）求出参数的值；（2）写出正交变换矩阵。解：二次型的矩阵（1）由

4、。-------5’（2）特征值时，特征矩阵--------2’特征值时特征矩阵---------2’特征值时特征矩阵。------2’所以，。-----------1’八、（8分）（1）设是阶方阵，是阶矩阵，若秩，则当时，证明，其中是阶单位阵。（2）设是阶方阵，且，其中的秩，是阶单位阵，证明。证：（1）由，所以的列向量是齐次方程的解向量。-------2’因为矩阵B列满秩，故只有唯一零解。即，亦即。-------2’（2）由。-------------1’因为，所以，。--------------2’而故。----------------1’