第2章_谓词逻辑_2009-2010-02_.ppt

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1、离散数学戎玫第2章谓词逻辑2.1个体、谓词与量词2.2谓词公式2.3谓词演算的等价式与蕴含式2.4前束范式2.5谓词逻辑的推理理论2.1.1个体苏格拉底推论所有的人总是要死的苏格拉底是人苏格拉底总是要死的将原子命题进一步细分，分解出个体、谓词和量词，以表达个体与总体的内在联系和数量关系，即谓词逻辑研究的内容。2.1个体、谓词与量词2.1.1个体考察下面的三个原子命题：⑴李玲是优秀共产党员。⑵张华比李红高。⑶小高坐在小王和小刘的中间。个体是指所研究对象中可以独立存在的具体的或抽象的客体。个体常用小写英文字母或小写英文字母带下标表示，叫做个体标识符。表示具体或特定个体的标

2、识符称个体常元。例如：李玲、张华可如下表示：a：李玲b：张华2.1.1个体将表示任意个体或泛指某类个体的标识符称为个体变元，常表示为x、y、z、…等或这些英文字母带下标。个体变元的变化范围称为个体域或论域。个体域可以是有穷集合，也可以是无穷集合，包含任意个体域的个体域称为全总个体域，它是由宇宙间一切对象组成的集合。在本课程中，如无特别说明，所采用的都是全总个体域。2.1.2谓词刻划个体性质或几个个体关系的模式叫做谓词。谓词常用大写英文字母表示，叫做谓词标识符。例如可以用F，G，H表示前面三个命题中谓词：F：…是优秀共产党员。⑴可以分解成为个体“李玲”和“…是优秀共产党员”

3、两部分。“…是优秀共产党员”是用来描述个体“李玲”的性质；G：…比…高。H：…坐在…和…的中间。2.1.2谓词把与一个个体相关联的谓词叫做一元谓词。把与两个个体相关联的谓词叫做二元谓词。把与三个个体相关联的谓词叫做三元谓词。一般的，把与n个个体相关联的谓词叫做n元谓词。F是一元谓词；G是二元谓词；H是三元谓词；2.1.2谓词设F是一元谓词，a是个体常元，用F(a)表示个体常元a具有性质F；设G是二元谓词，a,b是个体常元，用G(a,b)表示个体常元a和b具有关系G；于是上面三个命题就表示为：F(a)：李玲是优秀共产党员。G(b,c)：张华比李红高。H(d,e,f)：小高坐在

4、小王和小刘的中间。将谓词后面填上相关联的个体常元所得的式子叫做谓词填式。F(a)，G(b,c)，H(d,e,f)都是谓词填式。谓词填式表示的是命题。2.1.2谓词类似的，用F(x)表示个体变元x具有性质F，F(x)叫做一元命题函数；用G(x,y)表示个体变元x和y具有关系G，G(x，y)叫做二元命题函数；用P(x1,x2,…,xn)(n≥1)表示个体变元x1,x2,…,xn具有关系P。P(x1,x2,…,xn)为n元命题函数。命题函数没有确定的真值，它不是命题。只要用个体常元取代所有的个体变元，就得到了命题。2.1.2谓词例，H(x,y)：x+y≥0，此命题函数是否为命题？

5、令a：5,b：－7H(a,b)是否为命题？真值？用个体常元取代命题函数的所有个体变元所得到的表达式就是谓词填式，谓词填式也叫做0元命题函数。F(a)，G(b,c)，H(d,e,f)都是0元命题函数，它们都是命题。命题逻辑中的命题均可以表示为谓词逻辑中的0元命题函数(谓词填式)，命题成为命题函数的特例。2.1.2谓词【例2.1】将下列命题符号化，并讨论它们的真值。⑴2与3都是偶数。⑵如果5大于3，则2大于6。解：⑴设F(x)：x是偶数。a：2，b：3该命题符号化为：F(a)∧F(b)F(b)表示3是偶数，它是个假命题。所以F(a)∧F(b)为假。⑵设G(x,y)：x大于ya：

6、5，b：3，c：2，d：6该命题符号化为：G(a,b)→G(c,d)G(a,b)表示5大于3，它是真命题。G(c,d)表示2大于6，这是个假命题。所以G(a,b)→G(c,d)为假。2.1.3量词量词分两种：⑴全称量词全称量词符号化为“”。即“一切的”，“所有的”，“每一个”等。用(x)，(y)等表示个体域里的所有个体，(x)F(x)表示个体域中的所有个体都有性质F。⑵存在量词存在量词符号化为“”。即“存在”，“有一个”，“有些”等。用(x)，(y)等表示个体域里有些个体，用(x)F(x)表示在个体域中存在个体具有性质F。全称量词与存在量词统称为量词

7、。2.1.3量词【例2.2】个体域是人类集合，对下列命题符号化。⑴凡人要死。⑵有的人是研究生。解：⑴令F(x)：x要死。命题“凡人要死。”符号化为：(x)F(x)⑵令G(x)：x是研究生。命题“有的人是研究生。”符号化为：(x)G(x)在命题函数前加上量词(x)和(x)分别叫做个体变元x被全称量化和存在量化。如果对命题函数中所有命题变元进行全称量化或存在量化，该函数就变成了命题。2.1.3量词【例2.3】对下列命题符号化，并在①，②，③三个个体域中考察命题的真值。命题：⑴所有数小于5。⑵至少有一