第4章谓词逻辑

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1、离散数学计算机科学与工程学院2011年•秋苏格拉底三段论凡人要死，苏格拉底是人，所以苏格拉底要死.P：凡人要死Q：苏格拉底是人R：苏格拉底要死此三段论表示为(PQ)R苏格拉底三段论是正确的，但PQR却不是重言式，这就是命题逻辑的局限性。Σωκράτης苏格拉底Socrates公元前469年—前399年著名的古希腊哲学家，他和他的学生柏拉图及柏拉图的学生亚里士多德被并称为“希腊三贤”。FriedrichLudwigGottlobFrege，1848年11月8日－1925年7月26日，德国数学家、逻辑学家和哲学家。是数理逻辑和分析哲学的奠基人。弗

2、雷格与谓词逻辑1897年发表《概念文字：一种模仿算术语言构造的纯思维的形式语言》。这本薄薄的书可谓现代逻辑的开山之作。它奠定了数理逻辑中的命题逻辑和一阶谓词逻辑的基础。内容提要谓词公式的解释及类型3逻辑等值的谓词公式4谓词逻辑的基本概念1谓词公式及命题的符号化2谓词公式的前束范式5第4章谓词逻辑谓词逻辑中的推理6本章学习要求重点掌握熟练掌握了解11谓词逻辑的基本概念2谓词公式的相关概念3基本的等值式和蕴含式31谓词演算理论2Skolem范式3一阶逻辑下的命题符号化21全称量词含义2存在题词含义3谓词公式的解释及改名规则4基本等值式和蕴含式4.1谓词逻

3、辑的基本概念个体是指描述个体的词，即命题的考虑对象。⑴海洋的面积比陆地的面积大。⑵大熊猫产在我国东北。⑶北京是中国的首都。⑻火星上有生物。个体是指可以独立存在的物体，它可以是抽象的概念，也可以是具体的东西。例：(1)5是素数.(2)3大于2.(3)张三是学生.(4)所有的人都是要死的.4.1谓词逻辑的基本概念表示特定的、具体的个体称为个体常量,用小写英文字母a,b,c,…或带下标ai,bi,ci,…表示;表示不确定的个体称为个体变元,用小写英文字母x,y,z,…或带下标xi,yi,zi,…表示表示.在讨论个体时,通常要指定个体讨论的范围,称为个体域或

4、论域,用D表示.个体域可以是有限集合,可以是无限集合.我们把世界上所有对象,如所有的动物、所有植物、所有字母、所有数字等组成的集合称为全总个体域,简称全域,它是最大的个体域.之所以要给出这样的个体域,是因为在很多问题讨论时都没有指定个体域,这时就在全总个体域中讨论,它是默认的个体域.4.1谓词逻辑的基本概念在讨论个体时,通常要指定个体讨论的范围,称为个体域或论域,用D表示.谓词表示个体的性质以及个体之间关系的词。4.1谓词逻辑的基本概念⑴海洋的面积比陆地的面积大。⑵大熊猫产在我国东北。⑶北京是中国的首都。⑻火星上有生物。表示一个个体性质的谓词称为1元

5、谓词,表示两个或n个个体之间关系的谓词称为2元谓词或n元谓词.命题理解为0元谓词。谓词的元数：在谓词中包含的个体变元的数目。4.1谓词逻辑的基本概念一般用大写字母,如P,Q,R,…等表示谓词.如,用P(x):x是素数,S(x):x是学生,D(x):x是要死的,G(x,y):x>y,R(x,y,z):x通过y和z等等.对于n元谓词P(x1,x2,…,xn)(n1),当个体变元x1,x2,…,xn取定个体域D中元素后就是一个命题,如G(x,y):x>y,它是关于命题的函数,称为命题函数.G(3,2):3>2,是命题.命题函数不是命题.谓词的选取与个体域

6、有关.如,对于命题“所有人都是要死的”,若在所有人组成的个体域D中考虑,只需一个谓词D(x):x是要死的；若在全域D中考虑,需要两个谓词P(x):x是人,D(x):x是要死的,其中P称为特性谓词,使用这个特性谓词是将“人”从全域中分离出来.4.1谓词逻辑的基本概念4.1谓词逻辑的基本概念设D是非空个体名称集合，定义在Dn上取值于{1，0}上的n元函数，称为n元命题函数或n元谓词。其中Dn表示集合D的n次笛卡尔乘积。谓词的形式化定义用谓词的概念将三段论做如下的符号化：令H(x)表示“x是人”，M(x)表示“x必死”。则三段论的三个命题表示如下：P：H(

7、x)M(x)Q：H(张三)R：M(张三)命题P的确切意思应该是：“对任意x，如果x是人，则x必死”。但是H(x)M(x)中并没有确切的表示出来。P=H(x)M(x)量词4.1谓词逻辑的基本概念对于命题函数,如P(x):x是素数,在个体域D为自然数集合N时,对于x的每一个取值,就得到一个命题.使P(x)成为命题的另一种方法是量化个体变元x.常使用的方法有两种：全称量化和存在量化.如D中任意x有P(x),即“任意自然数是素数”,D中存在x有P(x),即“有些自然数是素数”,它们都是命题了.表示个体数量特征的词称为量词.量词语句“对任意x”，称为

8、全称量词，记作x，其中x称为作用变元；语句“存在一个x”，称为存在量词，记作x，其中x称为作用变元。全称