第2章 谓词逻辑

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1、第2章谓词逻辑2.1个体、谓词与命题函数2.2量词2.3谓词公式与翻译2.4谓词演算的推理理论2.5前束范式习题22.１个体、谓词与命题函数2.1.1个体与谓词在谓词逻辑中,我们首先对原子命题加以分解,引入个体和谓词的概念。例1讨论以下原子命题:(1)张三是共青团员。(2)100是自然数。(3)马列主义是真理。定义2.1―1一个可以独立存在的物体称为个体。个体可以是抽象的,如“马列主义”;也可以是具体的,如“100”。个体常用小写字母a,b,c等表示。例2讨论以下原子命题:(1)2＞5。(2)南

2、京位于武汉和上海之间。原子命题(1)可以分解为个体“2”、“5”和“…＞…”两部分;原子命题(2)可以分解为个体“南京”、“武汉”、“上海”和“……位于……和……之间”两部分。我们将例2中的“…＞…”和“……位于……和……之间”也称为谓词,它们表示了两个和两个以上个体之间的关系。定义2.1―2用于刻画个体的性质或个体间关系的词称为谓词。谓词常用大写字母Ｐ,Ｑ,Ｒ等表示。如用Ｑ表示谓词“是共青团员”,a表示个体“张三”,b表示个体“李四”,则命题“张三是共青团员”和“李四是共青团员”可分别用Ｑ(a

3、)和Ｑ(b)表示。例3将下列命题符号化:(1)赵子龙救出阿斗。解设P:……救出……。a:赵子龙。b:阿斗。则原命题可表示为P(a,b)。(2)如果你不出去,我就不进来。解设P:……出去。Q:……进来。a:你。b:我。则原命题可表示为┐P(a)→┐Q(b)。(3)123是偶数当且仅当2整除123。解设A:……是偶数。B:……整除……。a:2。b:123。则原命题可表示为A(b)B(a,b)。2.1.2命题函数定义2.1―3一个命题函数由n个个体变元和n元谓词组成。由n个个体变元x1,x2,…,x

4、n及n元谓词P所组成的命题函数记为P(x1,x2,…,xn)。这种命题函数以个体域为定义域,以真值０,1所组成的集合为值域（关于函数、定义域、值域的概念见第5章）。2.2量词有了个体、谓词、命题函数的概念以后,能不能将本章开始所讲的三段论方法正确地符号化呢？以下面的断言为例:P:凡人要死。Q:苏格拉底是人。R:苏格拉底要死。令H(x):x是人。M(x):x要死。a:苏格拉底。2.2.1全称量词命题“凡人要死”也可以说“对所有的x,如果x是人,则x要死”。这种涉及到普遍性问题的命题还可以举出很多。

5、例如:对任意一个x,如果x是自然数,则x是实数。对每一个x,x是偶数当且仅当2整除x。为表示上面所讲的“对所有的x”、“对任意一个x”、“对每一个x”,我们引入全称量词的概念。定义2.2―1符号x表示“对所有的x”、“对任意一个x”、“对每一个x”,称为全称量词。例1把下面命题符号化:(1)凡人要死。解设H:……是人。M:……要死。则原命题可以表示为x(H(x)→M(x))。(2)所有的自然数都是实数。解设N:……是自然数。R:……是实数。则原命题可以表示为x(N(x)→R(x))。(3)

6、对每一个x,x是偶数当且仅当2整除x。解设Ｅ:……是偶数。2

7、x:2整除x。则原命题可以表示为x(Ｅ(x)2

8、x)。2.2.2存在量词定义2.2―2符号x表示“对某一个x”、“至少存在某一个x”、“存在某一个x”,称为存在量词。例2把下面命题符号化:(1)至少有一个人不死。解设H:……是人。M:……要死。则原命题可以表示为x(H(x)∧┐M(x))(2)所有的苹果都是红的。解设P:……是苹果。M:……是红的。则原命题可以表示为x(P(x)→Q(x))(3)我看见一朵香花。解设P:……看

9、见……。Q:……香。R:……是花。a:我。则原命题可表示为x(P(a,x)∧Q(x)∧R(x))。2.3谓词公式与翻译2.3.1谓词公式在命题逻辑中我们引入了命题公式的概念,它是由命题常元、命题变元、命题联结词和圆括号按照一定的规律所组成的符号串。谓词逻辑是命题逻辑的进一步延伸,在谓词逻辑中我们也相应地引入原子谓词公式和谓词公式的概念。定义2.3―1(1)一个命题是原子谓词公式;(2)一个命题变元是原子谓词公式;(3)由n个个体变元x1,x2,…,xn及n元谓词P所组成的命题函数P(x1,x2

10、,…,xn)也是一个原子谓词公式。原子谓词公式简称为原子公式。定义2.3―2(1)一个原子公式是一个谓词公式;(2)若A是谓词公式,则┐A也是谓词公式;(3)若A、B是谓词公式,则(A∧B)、(A∨B)、(A→B)、(AB)也是谓词公式;(4)若A是谓词公式,x是A中的个体变元,则(xA)、(xA)也是谓词公式;(5)只有有限次地运用规则(1)、(2)、(3)、(4)所得到的符号串才是谓词公式。谓词公式也简称为公式。例1对下列不同的个体域,用谓词公式表示命题“所有的自然数都大于０”:(1)