第2章 谓词逻辑

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1、第2章谓词逻辑本章主要内容包括谓词逻辑的基本概念、谓词逻辑命题的符号化，谓词公式及其真值，谓词公式的前束范式，重言蕴含式与推理规则等。下面就此作一简要介绍。一、谓词逻辑的基本概念及其符号化个体是指可以独立存在的客观实体，它可以是具体的，也可以是抽象的。具体的特定个体称为个体常量；抽象的、泛指的或在一定范围内变化的个体称为个体变量，也称为个体变元；个体变量的取值范围称为个体域(或论域)；在命题中，表示一个个体性质、特征或多个个体之间关系的成份称为谓词；表示具体性质或关系的谓词称为谓词常量或常谓词，否则称为谓词变量

2、。一般用大写字母F、G、H等表示谓词，而用X、Y、Z等表示谓词变量。表示一个个体性质的谓词称为一元谓词：表示多个个体之间关系的谓词称为多元谓词。在命题中除了个体和谓词外，有时还出现表示数量的词称为量词。我们讨论的量词有两个，即存在量词和全称量词。全称量词对应于汉语中的“每个”、“所有的”、“任意的”等，用符号“"”表示。存在量词对应于汉语中的“有的”、“至少有一个”、“存在”等，用符号“$”表示。在个体域事先给定的情形下，我们只有将个体域中的每个具体的个体代入到F(x)中去确定其真假，才能断定"xF(x)的真假

3、。当每一个个体都使得F(x)=1时，就有"xF(x)=l；否则"xF(x)=0。对于$F(x)，我们只要发现个体域中有(一个或多个)个体使得F(x)=1时，就有$xF(x)=1；否则(即任何个体都使得F(x)=O)$xF(x)=0。在用量词符号化命题时，首先强调的是个体域，同一命题在不同的个体域内可能有不同的符号化形式，同时也可能有不同的真值，因此必须先清楚个体域，不先确定所考虑的个体域就不能准确地表达原命题的意思。为了解决这一问题，使得符号化表达式有确定的含义而不需事先考虑个体域，我们在符号化表达式中增加一个

4、指出个体变量的变化范围的谓词，这样就可以不需事先考虑个体域而能够准确地把命题的意思表示出来。这样我们考虑含有量词的命题时，总是在由一切事物构成的总体个体域上考虑问题。当符号化时，如果命题中含有全称量词，则把所增加的指出个体变化范围的谓词(称为特性谓词)作为前件，而命题中原有的谓词作为后件，构成一个蕴含式来表示命题的意思：如果命题中含有存在量词，则用增加的特性谓词和原命题中的谓词构成的合取式表示命题的意思。在对给定的自然语言形式的命题进行符号化时，若是为了确定命题的真值，一般约定在某个个体域上进行，否则一般在总体

5、个体域上进行，要根据具体情况而定。若是在总体个体域上进行，则需按上面的说明加上特性谓词及相应的联结词来表示。二、谓词公式及其真值定义：设F和X分别为n元谓词和n元谓词变量，x1，x2，…xn是个体变量，则F(x1，x2，…xn)和X(x1，x2，…xn)都称为原子公式。定义1谓词公式是指满足下列条件的公式：(1)命题公式和原子公式是公式：(2)若A是公式，则ØA也是公式：(3)若A，B是公式，则(A∨B)，(A∧B)，(A→B)，(A↔B)也是公式：(4)若A是公式，x是个体变量，则("xA)和($xA)也是公

6、式：(5)只有有限次应用(1)~(4)得到的才是公式。定义2紧跟在"x或$x后面并用圆括号括起来的公式，或者没有圆括号括着的一个原子公式，称为相应量词的作用域(或辖域)。把"x或为中的变量叫作相应量词的指导变量(或指导变元、作用变元等)；在量词作用域中出现的与指导变量相同的变量称为约束变量(或约束变元)；除约束变量外的一切变量称为自由变量(或自由变元)。在谓词公式中，自由变量虽然有时也在量词的作用域中出现，但不受相应量词中指导变量的约束，故可把自由变量看作公式中的参数。另一方面，在谓词公式中，一个变量可以既是约

7、束变量，也是自由变量，后面习题解析中有相应的习题。为了避免一个变量既是自由变量又是约束变量可能引起的混淆，可对约束变量改名，使得一个变量在一个公式中只呈现一种形式，即仅为自由变量或仅为约束变量。根据定义，谓词公式是一个关于自由变量(个体和命题)、谓词变量的命题函数，其值随着这些变量的变化而变化。定义3设A为一谓词公式，其中含有自由个体变量x1，x2，…xl，命题变量P1，P2，…，Pm，谓词公式X1，X2，…，Xn，则谓词公式A可表示成为A(x1，x2，…xl，P1，P2，…，Pm，X1，X2，…，Xn)。如果

8、对码，x1，x2，…xl分别指定个体a1，a2，…，al，对P1，P2，…，Pm分别指定为真值1或0，对X1，X2，…，Xn分别指定常谓词F1，F2，…，Fn，则给公式A作了一组赋值。此时也称是对谓词公式的一个解释。当给定一组赋值后，公式的真值就惟一确定了。定义4如果一谓词公式在任何赋值下均为真，则该公式称为重言式(或永真式、逻辑有效式)；如果任何赋值都使其为假，则该公式称为矛盾式(或