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《概率论复习要点第三章(华理)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、第三章随机向量及其函数的概率分布内容提要（一）基本概念1．设{ξ(ω)}i=1,2,",n是定义在同一个概率空间(Ω,F,P)上的n个随机变量，则称iξ(ω)=(ξ(ω),ξ(ω),",ξ(ω))为n维随机向量或n维随机变量12n2．对任意实数x,x,",x，称函数12nF(x,x,",x)=P{ξ≤x,ξ≤x,",ξ≤x}12n1122nn为随机向量ξ的（联合）分布函数（二）二维随机向量1．离散型随机向量联合概率分布p=P{ξ=x,η=y}，i,j=1,2,"ijij或表格形式ηyy"y"12jξx1p11p12"p1j"x2p21p22"p
2、2j"######xipi1pi2"pij"#性质：(1)非负性：p≥0；ij+∞(2)规范性：∑pij=1。i,j=12.连续型随机向量联合概率密度函数p(x,y)性质：(1)非负性：p(x,y)≥0；+∞+∞(2)规范性：∫∫p(u,v)dudv=1−∞−∞（三）边际分布1．离散型随机向量∞∞P(ξ=xi)=∑pij，P(η=yj)=∑pijj=1i=12.连续型随机向量+∞+∞F(x)=p(x,v)dv，F(y)=p(u,y)duξ∫−∞η∫−∞3.联合分布函数F(x,y)，则其边际分布函数为：F(x)==F(x,+∞),F(y)=F(+
3、∞,y)ξη（四）条件分布1.离散型随机向量在事件(ξ=x)发生条件下，事件（η＝y)发生的条件概率分布为ijP(ξ=x,η=y)pijijP(η=y
4、ξ=x)==,j=1,2,"jiP(ξ=x)pii⋅2.连续型随机向量在事件(ξ=x)发生条件下，事件（η＝y)发生的条件概率密度为ijp(x,y)ξηp(y
5、x)=(p(x)≠0)η
6、ξξp(x)ξ（五）随机向量的独立性设(ξ,ξ,",ξ)为n维随机向量，若对任意的实数x,x,,x成立12n12nnFξ1"ξn(x1,x2,"xn)=Fξ1(x1)Fξ2(x2)"Fξn(xn)=∏FξI(xi
7、)i−1则称ξ,ξ,",ξ间是相互独立的。12n1.离散型随机向量PxxPx{,}()ξ=====ξξPx()ξ11221122或者PxxPx{
8、}ξ==ξξ==()1122112.连续型随机向量pxy(,)=pxpy()()；或者pxypxpyxpy(,)(==),(,)().ξη
9、
10、ξηξη（五）分布函数的性质1.固定y（或x）后，对于x（或y），函数F(x,y)是一维的非降函数。2.固定y（或x）后，对于x（或y），函数F(x,y)是一维的右连续函数。3.对任意的x或y，函数F(x,y)具有如下的“0－1”性：F(−∞,y)=limF(x
11、,y)=0，x→−∞F(x,−∞)=limF(x,y)=0，y→−∞F(−∞,+∞)=limF(x,y)=1。x→+∞y→+∞4.联合分布和边际分布的关系(1)联合分布决定边际分布；边际分布不一定能决定联合分布;(2)边际分布加上条件分布或独立性等可决定联合分布.（六）多维随机向量的数字特征1.二维随机向量的期望与方差（1）离散型设(,)ξη的联合概率分布为p(,)xy，则ijEξ==∑∑xpxyiij(,)∑xpxiiξ()ijiEη==∑∑ypxyjij(,)∑ypyjη()jijj22Dxξξ=−∑∑()iiEp(x,yj)()=∑xii
12、−Eξpξ(x)iji22Dyηη=−∑∑()jiEp(x,yj)()=∑yj−Eηpη(yj)ijj（2）连续型设(,)ξη的联合概率密度为p(,)xy，则+∞+∞+∞Eξ==xpxy(,)ddxyxpx()dx∫∫−∞−∞∫−∞ξ+∞+∞+∞Eη==ypxy(,)ddxyypy()dy∫∫−∞−∞∫−∞η+∞+∞+∞22Dxξξ=−(E)p(,)ddxyxy=(x−Eξ)p()dxx∫∫−∞−∞∫−∞ξ+∞+∞+∞22Dyηη=−(E)p(,)ddxyxy=(y−Eη)p()dyy∫∫−∞−∞∫−∞η2.二维随机向量函数的数学期望离散型Ef
13、f(,)ξη=∑∑(,)(,)xijypxijyij+∞+∞连续型Eff(,)ξη=∫∫(,)(,)ddxypxyxy−∞−∞3.多维随机向量的期望与方差的性质nn⎛⎞（1）Ec⎜⎟∑∑iiξ=ciEξi，其中cc12,,,"cn为常数。⎝⎠ii==11（2）当ξ与η独立时，有EE()ξηξ=Eη,Efg[]()()ξηξ=EfEg()()ηnn⎛⎞一般地当ξ12,,,ξξ"n独立时，有EE⎜⎟∏ξii=∏ξ⎝⎠ii==11（3）当ξ与η独立时，有DD()ξ+=+ηξηD,22D()ξηξ=+DDEDEDηηξξη()+()nn⎛⎞2一般地当ξ
14、12,,,ξξ"n独立时，有Dc⎜⎟∑∑iiξ=ciDξi⎝⎠ii==11（七）矩与相关系数1.ξ的原点矩与中心矩kξ的k阶原点矩：μ=Eξkkξ的k
