华理概率论习题7答案-2012

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1、华东理工大学概率论与数理统计作业簿（第五册）学院____________专业____________班级____________学号____________姓名____________任课教师____________第二十次作业一．填空题：1．在一批垫圈中随机抽取10个，测得它们的厚度(单位:mm)如下:1.23，1.24，1.26，1.29，1.20，1.32，1.23，1.23，1.29，1.28用矩估计法得到这批垫圈的数学期望的估计值ˆ=x1.257，标准差的估计值ˆ=s0.037。n12．将合适

2、的数字填入空格，其中：（1）总体矩，（2）样本矩，（3）中心极限定理，（4）大数定理。矩估计的做法是用（2），代替（1），其依据是（4）。23．已知总体X~N(,)，其中未知参数和的极大似然估计分别为2XX和S，则概率P{X2}的极大似然估计为。n1Sn1二．计算题：11．设总体X的分布律为P{Xk},k0,1,2,,N1，其中N未知，NX,,X为来自该总体的样本，试分别求N的矩估计Nˆ和极大似然估计Nˆ1nML解：（1）矩估计1111N(N1)N1总体均值：EX0

3、1(N1)，NNNN22n1样本平均值：XXi，ni1N1令EXX，即X，得N2X1，即N的矩估计为Nˆ2X1。M2（2）极大似然设(X,X，，X)的一组观测值为(x,x，，x)，12n12nn1似然函数L(N)P(Xxi)n，显然N越小，似然函数值越大。i1N由0xxN1,得Nx1，则N的极大似然估计值为(1)(n)(n)Nˆx1，即N的极大似然估计为NˆX1L(n)L(n)x12．设总体X服从几何分布：P(Xx)p(1p)，x

4、1,2,，其中p未知。设(X,X,,X)为X的样本，试求p的矩法估计和极大似然估计。12n11解：(1)由于Gep()，因此E，由矩法原则可知EX，故pˆ。pX(2)设样本(XX,,,X)的一组观测值为(,xx,,x),由于总体为离散型,12n12nnnnxin因此似然函数Lp()PX(x)p(1p)i1,iii1n取对数,得ln()Lpnlnpi1xinln(1p),ndln()Lpni1xin上式两端关于p求导,令0,dpp1p1X11解上

5、式,得0pˆ。p1pX(1)x,0x13．设总体总体X的密度函数为f(x)，其中1是0,其他未知参数,(X,X，，X)是来自总体的样本，分别用矩估计法和极大似然法求12n的估计量。11解：总体X的数学期望为EXxf(x)dx(1)xdx,2n11设XXi为样本均值,则应有：X,ni12解得的矩法估计量为:ˆ2X1；1X设(x,x，，x)是样本(X,X，，X)的观察值,则似然函数为：12n12nnn(1)

6、n(xxx),0x1,i1,2,,n12niL()f(xi)(1)xi,i1i10,其他当0x1(i1,2,,n)时,L()0,inlnL()nln(1)lnxi,i1ndlnL()n令lnxi0,解得的极大似然估计值：d1i1nˆ1，nlnxii1n故的极大似然估计量为：ˆ1。nlnXii14．设总体X的分布律为X01232(1)22P121其中(0)是未知参数。现有一样本：3,

7、1,3,0,3,1,2,3。求的矩估2计值ˆ和极大似然估计值ˆ。ML22解：(1)由矩法原则可知：EX012(1)23(12)34X，31303123ˆ1由样本得：X2，故的矩估计值。M84(2)注意该总体为离散型，且分布律不能由解析式表示。似然函数L()PX{3}{PX3}{PX3}{PX0}{PX3}{PX1}{PX2}{PX3}123456782224624()(2(1))(12)4(1)(12)

8、，取对数，得ln()Lln46ln2ln(1)4ln(12)，2dln()L62824286令0，d112(1)(12)7137131解得，由于不合题意，故舍去。12122ˆ713因此，的极大似然估计值为。L12第二十一次作业一．选择题：1．设总体X的数学期望