§5 平面与空间直线.ppt

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1、§5平面与空间直线一.平面的点法式方程：1.平面的法向量：与平面垂直的向量称为的法向量，一个平面的法向量有无穷个。2.点法式方程：设平面过一定点M0(x0,y0,z0)，且具有法向量n={A,B,C}，则称A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0为该平面的点法式方程。例1已知平面过M0(3,-2,1),且与M0到M1(-2,1,4)的连线垂直,求其方程。解：所求平面的一个法向量n={-5,3,3}，于是平面方程为(-5)(x-3)+3(y+2)+3(z-1)=0整理得5x-3y-3z+18=0二.平面的

2、一般式方程：1.一般式方程：我们称形为Ax+By+Cz+D=0的方程为平面的一般式方程，其中{A,B,C}为其法向量n.2.特殊情况：①当D=0时，Ax+By+Cz=0过原点；②当A=0时，By+Cz+D=0平行于x轴，其他类似；③当A=B=0时，Cz+D=0平行于xOy面，其他类似；例2求过x轴及点M(1,2,3)的平面方程。解因为平面过原点且平行于x轴，易知平面方程形为By+Cz=0将点M的坐标代入得其一组解为B=3,C=-2故所求平面的方程为3y-2z=0三.平面的截距式方程：称形如的方程为平面的截距式方程。其中

3、a,b,c为平面在x,y,z轴上的截距。例3将x+2y+3z-6=0化为截距式方程。解：原方程可化为x+2y+3z=6在上式两边同除以6得四.空间直线的对称式与参数式方程：1.直线的方向向量：2.对称式方程：任一平行于直线l的非零向量称为L的方向向量，一般记为s，一直线的方向向量有无限个。设已知直线L上一点M0(x0,y0,z0)和它的一个方向向量s={m,n,p}，则该直线的方程为称为该直线的对称式方程（或称为点向式、标准式方程）。在上式中，若m=0,则应理解为其余类推。若有两个为0，例m=n=0，应理解为直线的任一

4、方向向量s的坐标m,n,p称为该直线的一组方向数，而s的方向余弦称为该直线的方向余弦。3.两点式方程：过两点M1(x1,y1,z1)和M2(x2,y2,z2)的直线的方程为4.参数式方程：在直线的对称式方程中令比例系数为t，则得如下参数方程：例4求过点(-2,1,0)且垂直于平面3x-13y-9z-2=0的直线的对称式方程与参数式方程。解显然平面的法向量可以取作直线的方向向量，取s={3,-13,-9},由对称式知直线方程为再令上式等于t，便得到直线的参数式方程：五.空间直线的一般式方程：空间直线可看作两个平面的交线，

5、设有两个平面1：A1x+B1y+C1z+D1=02：A2x+B2y+C2z+D2=0则称如下方程组为直线的一般式方程：例将直线L化成对称式方程平面的法向量L的方向量求直线L上一点M0(x0,y0,z0)令x0=1得Y0=4,z0=4所求直线L方程为五导读1.两平面的夹角两平面法向量的夹角,称为两平面的夹角.若两平面互相垂直,则若两平面互相平行,则//2两直线间的夹角3直线与平面之间的夹角当直线L与平面不垂直时,直线与平面的夹角规定为直线与它在平面上的投影直线的夹角.当时,直线与平面平行当时直线与平面垂直//4点到平

6、面的距离设M0(x0,y0,z0)是平面Ax+By+Cz+D=0外一点,下面求M0(x0,y0,z0)到平面Ax+By+Cz+D=0的距离.解:设M1(x1,y1,z1)为平面上任一点,为的法向量,且过M0点,{A,B,C}设M0到的距离为,则5平面束方程两平面决定一条直线L实际上过L的平面有无穷多个，我们称它为平面束用表示L上的点一定在和上，因而也一定在平面束上，通过L的任意平面（除外）都包含在平面束内。例求直线L：在平面的投影直线方程解：要求投影直线方程，实际上是求一个与平面垂直的平面且过L直线为此，建立平面束方程

7、由于代入平面束方程得所以投影直线方程为此平面与的交线即为所求。例求通过两平面和的交线且与平面成角的平面解建立过已知两平面交线的平面束方程其法向量为而平面的法向量为