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1、§3.1平面的方程§3.4空间直线的方程§3.2平面与点的相关位置§3.5直线与平面的相关位置§3.3两平面的相关位置§3.6空间两直线的相关位置第三章平面与空间直线§3.7空间直线与点的相关位置§3.8平面束一、平面的点位式和参数式方程平面的方程二、平面的点法式方程三、平面的一般方程一、平面的点位式和参数式方程定义0把平行于平面的两不共线矢量，叫做平面的一组方位矢量.显然过定点且以为平面的一组方位矢量的平面是唯一的，下面求该平面的方程.在空间建立标架后，设的坐标为，的坐标分别为，为平面上任点，记，则，由于与共面，所以有=，
2、即=或=+，（3.1-1）定义1方程（3.1-1）叫平面的矢量式参数方程，其中为参数.图从（3.1-1）可得（3.1-2）定义2方程（3.1-1）叫平面的坐标式参数方程，其中为参数.从（3.1-2）消去参数得（3.1-3）定义3方程（3.1-1）（3.1-2），（3.1-3）叫平面的点位式方程.定义4平面的三点式方程.上一页如果n个向量平行于同一直线，则称它们共线.向量,共线记为//.我们规定,零向量与任何向量共线.如果n个向量平行于同一直平面，则称它们共面.显然,任意两个向量一定共面.与向量的长度相等，方向相反的
3、向量称为的负向量，记为，显然AB=BA.AB-AB上一页例1已知不共线三点，求通过三点的平面π的方程。解因此平面π的矢量式参数方程为：取平面π的方位矢量并设点M(x,y,z)为平面π上的任意一点,那么如果n个向量平行于同一直线，则称它们共线.向量,共线记为//.我们规定,零向量与任何向量共线.如果n个向量平行于同一直平面，则称它们共面.显然,任意两个向量一定共面.与向量的长度相等，方向相反的向量称为的负向量，记为，显然AB=BA.AB-AB上一页(3.1−4)方程(3.1−4)−−(3.1−
4、6)都叫做平面的三点式方程。坐标式参数方程为：(3.1−5)从(3.1−4)与(3.1−5)分别消去参数u,v得(3.1−6)上一页例2设一平面与x轴，y轴，z轴分别交于三点P(a,0,0)，Q(0,b,0)，R(0,0,c)求此平面的方程(其中：).解如果n个向量平行于同一直线，则称它们共线.向量,共线记为//.我们规定,零向量与任何向量共线.如果n个向量平行于同一直平面，则称它们共面.显然,任意两个向量一定共面.与向量的长度相等，方向相反的向量称为的负向量，记为，显然AB=BA.AB-AB上一页平面
5、的截距式方程如果n个向量平行于同一直线，则称它们共线.向量,共线记为//.我们规定,零向量与任何向量共线.如果n个向量平行于同一直平面，则称它们共面.显然,任意两个向量一定共面.与向量的长度相等，方向相反的向量称为的负向量，记为，显然AB=BA.AB-AB上一页二、平面的点法式方程定义1如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法线向量．已知法线向量的特征：垂直于平面内的任一向量．设平面上的任一点为必有平面上的点都满足上方程，不在平面上的点都不满足上方程，上方程称为平面的方程，平面称为方程的图形．
6、其中法向量已知点平面的点法式方程如果n个向量平行于同一直线，则称它们共线.向量,共线记为//.我们规定,零向量与任何向量共线.如果n个向量平行于同一直平面，则称它们共面.显然,任意两个向量一定共面.与向量的长度相等，方向相反的向量称为的负向量，记为，显然AB=BA.AB-AB上一页如果记D＝－（Ax＋By+Cz），那么上式即成为Ax+By+Cz+D=0.如果平面上的点M0特殊地取自原点O向平面π所引垂线的垂足P,而π的法矢量取单位法矢量n，当平面不过原点时，n的正向取做与矢量OP相同；当平面通过原点时，
7、n的正向在垂直于平面的两个方向中任意取定一个，设
8、OP
9、=p,那么点P的径矢OP=pn，因此由点P和法矢量n决定的平面π的方程为：n·(r-pn)=0,r是平面π上任意点M的径矢。因为n·n＝1，所以上式可写成n·r−p=0， （3.1-7）(3.1-7)叫做平面的矢量式法式方程如果n个向量平行于同一直线，则称它们共线.向量,共线记为//.我们规定,零向量与任何向量共线.如果n个向量平行于同一直平面，则称它们共面.显然,任意两个向量一定共面.与向量的长度相等，方向相反的向量称为的负向量，记为，显
10、然AB=BA.AB-AB上一页如果设r＝{x,y,z},n={cosα,cosβ,cosγ},那么由（3.1-8）得xcosα+ycosβ+zcosγ−p=0.（3.1-9）(3.1-9)叫做平面的坐标式法式方程或简称法式方程.平面的法式方程（3.1-9）是具有下列两个特征的一种一般
