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《2013年北京市中学生数学竞赛复赛_高一_》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、年第期竞赛之窗年北京市中学生数学竞赛复赛一(高)中田分类文献标识码:文章编号:―空题每小题分已知实数力满足、填,共分)方程则以实数、、的数值为元素的集合是的全部整数解,,的集合是二、(分)已知二次方程的如图已知菱形的顶点、在直程的根的倍证线上且顶点(在曲线一上,似平行产`于轴则“三一、(分)(个正整数如能表示为若干“个正整数平方的算术平均值,则称此数为好整数”'如、年,9气?则、、均为好整数记好整数的集合为,正整数的集合为,证明记…证明可写阳(成个不同的正整数的平方和函数—对—,,使切的有。四、(分娜中,已知腐,①。,若、
2、￡分别为边、上的点,且。。￡使,是与的则,、交点,联结尺证明丄。如图在厶中,已知,五一、(分高数学竞赛共设有个考场,°是边上的动点径,以为直甲、乙、丙三所学校的领队各自将本校学生人数相作分别与交于点一组经统计、若弦长同的考场归为甲校共有组各组,,…乙校共有组组度的最小值为则的考场数分别为,,;,各的考场数分别为……丙校共有组各组,々;《的考场数分别为,,,,,巳知,,广,,包含了的所有整数证明:能找到三个考场,至少有两所学校在这三个考场中的选手人数各自是相同的参考答案、义一八中等数学。。。由,,知°贝散又的最小值为,则的最
3、小值为及若方程有整贿,则仙丄时他的最从而,当,小值为`因此,当的最小值为时,均为整数,其乘积等于因为—奇偶性相同,所以,它们均为偶数故方程左边被整除,而右边卞,矛盾于是,方程无整数解由纖知了,因为所以,得—了又—,贝,厂故比,或或及舍由对称性知所求集合为因此,(,及在$菱形雇二、由题设知卢,设巧、为血的两个根则将代入式①得、巧均为二次方程的根由韦达定理知一进步,令由式①得—;同理⑷—,,土巧,n—厶—如图联结￡、尺由上两式分别得务,从而二三、由針好整数均为正整数,知￡而对每个'均有°一图故打为好整数,即找似年第期于是,因此
4、,于是,财为的外心只需从中去掉两个股从°,由勾而义定理,知上于,°°'即故四点共圆于是。册。因此先从数中去掉:、再添加,』,即将写成了个不同的正整数的平五、令因为…方和…,,,、四图作仙包含了的整数,所以,、如,而的角平分线分别与交于点、联结、。彡—、〉因为。,。……所以是…,,于,,,,…,,、、,,、,…°恰是…的一个排列,`因此:故,接下来证明:能找到三个考场使得它们中至,°。°少有两所学校'每所学校选手的人数分别相同由`知不妨设,这个考场记为组,是甲°°校选手人数相个考场,由于每个考场中还于是,有乙校和丙校的选手,
5、它还可归入其他两所学校因此,、儿￡,$』、〔、分别四点共圆的分组由矣,知必有乙校分出的组数或°故,丙校分出的组数不大于,不妨设乙校分出的。组数不大于从。组的个考场分到这不超过个乙校分而,一组是至少三个组的考场出的组中去,因为,必有、、四点共圆所以,°显然这三个组考场的甲校选手人数相同而,,。这三个考场又同属于乙校分组中的某一组它们,°乙校选手人数也相同故李延林提供)中等数学售书目录代码书名邮价代书名邮购价年下半年合订本年全年合订本年上半年合订本年下半年合订本—全年合订本年全年合订本—“年上半年合订本全国高中联赛模拟理集萃年
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