北京市中学生数学竞赛高一级复赛参考解答.doc

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1、2011年北京市中学生数学竞赛高一年级复赛参考解答一、选择题（满分40分，每小题8分，将答案写在下面相应的空格中）题号12345答案13411．二次三项式x2+ax+b的根是实数，其中a、b是自然数，且ab=22011，则这样的二次三项式共有个．答：1341．我们发现，实际上，数a和b是2的非负整数指数的幂，即，a=2k，b=22011–k，则判别式Δ=a2–4b=22k–422011–k=22k–22013–k≥0，得2k≥2013–k，因此k≥=671，但k≤2011，所以k能够取2011–671+1=1341个不同的整数值．每个k恰对应一个所求的二次三项式

2、，所以这样的二次三项式共有1341个.ABCOHLMPNH1122．如右图，在半径为1的圆中内接有锐角三角形ABC，H是△ABC的垂心，角平分线AL垂直于OH，则=．答：．解：易知，圆心O及垂心H都在锐角三角形ABC的内部，延长AO交圆于N，连接AH并延长至H1与BC相交，连接CN，在Rt△CAN和Rt△AH1B中，∠ANC=∠ABC，于是有∠CAN=∠BAH1，再由AL是△ABC的角平分线，得∠1=∠2．由条件AP⊥OH，得AH=AO=1．连接BO交圆于M，连接AM、CM、CH，可知AMCH为平行四边形，所以CM=AH=AO=1，BM=2，因为△MBC是直角三

3、角形，由勾股定理得3．已知定义在R上的函数f(x)=x2和g(x)=2x+2m，若F(x)=f(g(x))–g(f(x))的最小值为，则m=．答：．解：由f(x)=x2和g(x)=2x+2m，得F(x)=f(g(x))–g(f(x))=(2x+2m)2–(2x2+2m)=2x2+8mx+4m2–2m，F(x)=2x2+8mx+4m2–2m的最小值为其图像顶点的纵坐标．由已知，，得，所以4．．答：．解1：作Rt△ADB，使得∠ADB=90º，AD=1，AB=2，则∠B=30º，BD=．延长BD到C，使BC=2，则DC=．连接AC，则∠ACB=(180º–30º)÷

4、2=75º．作∠ACD的平分线交AD于E，则∠ECD=37.5º．由于AC2=AD2+DC2=1+(2–)2=8–4，所以．由三角形的角平分线定理，得，于是，即，所以．解2：作等腰直角三角形ABC，使∠C=90º，AC=BC=1，则AB=．ACDEBB130º作∠CAD=30º，则CD=，AD=，则∠DAB=15º．作∠BAD的平分线AE，记CE=x，则BE=1–x，DE=x–．所以，整理得．5．设f(x)=，定义f1(x)=f(f(x))，fn(x)=f(fn–1(x))(n=2,3,…)，f2011(2011)=．答：．解：记，则；；；接下来有，，，…，fn

5、(x)的表达式是循环重复的，以3项为一周期．所以，，．ABCDO1I2I1D1O2二、（满分15分）D是正△ABC的边BC上一点，设△ABD与△ACD的内心分别为I1，I2，外心分别为O1，O2，求证：(I1O1)2+(I2O2)2=(I1I2)2．证明：作以A为中心、逆时针旋转的变换，使△ABD到△ACD1，由于∠ADC+∠AD1C=∠ADC+∠ADB=180º，所以A、D、C、D1共圆，因此是△AD1C的外心，也就是，因此AO1=DO1=AO2=DO2=O1O2，所以∠O1AO2=∠O1DO2=60º．由∠AO1O2+∠ACB=120º+60º=180º，O

6、1在△ACD的外接圆⊙O2上．由于，所以I1在⊙O2上，因此，．同理可证，I2在△ABD的外接圆⊙O1上，所以．由于而，比较可得．在△O1I1D与△DI2O2中，因为已证O1D=DO2，又因此△O1I1D≌△DI2O2．所以，I1O1=DI2，DI1=I2O2.由于△I1DI2是直角三角形.根据勾股定理，有而I1O1=DI2，DI1=I2O2.因此三、（满分15分）n是正整数，记n!=1×2×3×…×n，如1!=1，2!=1×2=2，3!=1×2×3=6，又记[a]表示不超过a的最大整数，求方程的所有正整数解．解1：由于当x是正整数时，，≥，＞–1，所以＜201

7、1即＜，得方程的正整数解x满足0＜x＜1207.5．由于6!=720，7!=5040，所以方程的正整数解x＜7!，即．因此，方程的解与原方程的解是一样的．设小于7!的正整数x为上述方程的解，我们写出的带余除法表达式：设，0≤r1＜6!，(0≤a≤6，aÎN)；因此①，0≤r2＜5!，(0≤b≤5，bÎN)，因此．②，0≤r3＜4!，(0≤c≤4，cÎN)，因此．③，0≤r4＜3!，(0≤d≤3，dÎN)；因此．④，0≤r5＜2，(e=0,1,2)；因此．⑤，(f=0,1)；因此．⑥①～⑥相加得1237a+206b+41c+10d+3e+f=2011．显然a=1，

8、因此206b+41c+1