2014年北京市中学生数学竞赛高一年级复赛试题及参考解答

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1、中学生数学·2014年1O月上·第499期(高中)寸2014年北京市中学生数学竞赛教兹高一年级复赛试题及参考解答一竞—、填空题(满分4O分，每小题8分)l2I∈(1，2)；赛1．S(z)表示自然数-z的数字和，则满足方程g(z)一0的根为0、z。、三个，l-z。『一_-，，+S()+S(S(z))一2014的z的集合是lz『∈(0，1)．l-则方程厂(厂(z))一0的根为方程，()=0富_●_●_。_-。_-。_。●。_一答：j2『．或(z)一或厂()一z2的根．解无论自然数z为何值，z+S(z)+因为函数：f(x)的值域为[一1，1]，且s(s(z))

2、被3整除，而2014被3除余1．所以等lzI：ll∈(1，2)，所以方程f(z)一z和式不能成立．因此解集为．()一z无根，而方程厂()==：0有3个根，所2．记z一5x+6≤0的解集为P，z。一2ax以方程／’(厂())一0的根的个数为3．+n一1≤0的解集为Q，已知PCQ，则实数n方程，(g())一0的根为方程g(z)一0或的取值范围是．g(z)一1或g(z)一z2的根．答：2≤a≤3．因为函数—g(z)的值域为[一2，2]，且解由x。一5x+6≤O得P一{}2≤≤3}，il—J。l∈(1，2)，所以方程g()一和g()由z-2ax十n一1≤O得Q一

3、{zla一1≤≤口+===各有3个根，同时方程g(z)一0也有3个1}，已知PCQ，即{{2≤≤3)是{zl口一1≤z≤根，所以方程厂(g())一0的根的个数为9．n+1)的真子集，因此a一1≤2且3≤n4-1，解得同理，可得方程g(g(Lz))一0和g(，(z))2≤“≤3．即实数a的取值范围是2≤n≤3．一0也各有9个根．3．图1为偶函数厂()的图像，图2为奇函所以n+b+f+d一3+9+9+9—3O．数g(z)的图像，记方程：f(f())一0，4．在△ABC中AB==：7，AC一5，角平分线-厂(g(z))===0，g(g())一0，g(厂())一

4、0的实AD与中线BM相交于点P，则一数根的个数分别为a、b、C、d，则a+b+c+d一解过A作BM的平行线交cB延长线于／／N，根据平行截割定理，有Nt：⋯⋯IN一13。APNB图3IP—D一面’即AP一一一+．．．l

5、一1但由于AD是A的平分线，所以D到AB、AC的距离相等，图1图2解由图像可知：函数Y一／‘(-z)的值域为因此面DC一一一号．[一1，1]，=：=g(z)的值域为[一2，2]．所以而AP一1+了5一了12方程-厂(z)一0的根为0、、z。三个，ll．黪网址：．t．i．。t。30·，电子邮箱：@。niaj。．。t．中学生数学·2014年1

6、O月上·第499期(高中)5．设集合P一{1，2，3，⋯，2014)，AP．若三、(满分10分)对6×6的方格表的方格集合A中任意两个数的差都不是99的倍数，中任意排布的1至36的全部整数，每个方格只数且任意两个数的和也不是99的倍数，则集合A有一个数．证明：在表中的某行里存在这样两鸶中最多含有个元素．个相邻的数，如果取它们中的较小者作为二次解设集合三项式-z+-z+q的系数P，较大者作为系数竞B一{99×1+i，99×2+i，⋯，99×2O+q，那么得到的一元二次方程z++q===0具赛i)，i一0，1，2，⋯，34；有两个不同的实根．__，．B一{9

7、9×1+，99×2+J，⋯，99×19+0证明如果在6×6的方格表的一行中相J)J一35，36，⋯，98；邻的这两个数都不小于13．我们称这个相邻的富任取a、b∈A，因为集合A中任意两个数数对为“好数对”，否则为不好的数对．的差都不是99的倍数，所以a、b不同属于集合下面我们证明，对6B或B，中．再由集合A中任意两个数的和也×6的方格表的方格中任不是99的倍数，则a、b又不是集合M==={(B，意排布的1至36的全部B。)，(B。，B。)，⋯，(B。，B。))中的一个数对，整数，这样的好数对都是所以集合A中最多有5O个元素，如在集合B。、可以找到的．髓B

8、一、B。中各取一个元素即可．为此，我们将表中的二、(满分10分)如图每一行都分成3对，整表图54，以锐角三角形ABC的即分成18对，则在这18对中至少有6个为“好BC边为直径的圆分别交边数对”．AC、AB于点D和E．求证：对任何好数对P、q，其中0，证明连接BD、CE相也就是一元二次方程+px+q一0具有图4交于点H，则BDC一两个不同的实数根．／CEB一90o．四、(满分10分)求满足不等式组因此，BD、cE是／kABC的两条高线

9、，HfZ}≥3y，是△ABC的垂心．J3z≥4，的整数对(z，)连接AH，交BC