2015年北京市中学生数学竞赛高一年级初赛试题及参考解答-

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1、中学生数学·２０１５年８月上·第５１９期（高中）数２０１５年北京市中学生数学竞赛学高一年级初赛试题及参考解答竞赛一、选择题（满分３６分）３．如图１，在４×５的正方形网格中，点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ２２都是格点，ＡＢ与ＣＤ相交于点Ｐ，则ｃｏｓ∠ＢＰＤ的值等之１．设集合Ａ＝｛ａ＋２０１５｜ａ∈Ｎ｝，Ｂ＝｛ｂ＋１５｜ｂ∈Ｎ｝，则Ａ∩Ｂ中的元素个数为（）．于（）．窗（Ａ）６（Ｂ）７（Ｃ）８（Ｄ）９（Ａ）槡１３（Ｂ）槡１５答：（Ａ）．１３１５解由ａ２２＋２０１５＝ｂ＋１５，得１７１９（Ｃ）槡（Ｄ）槡２２４３１７１９ｂ－ａ＝（ｂ＋ａ）（ｂ－ａ）＝２０００＝２×５．因为２０００＝１×２０００＝２×１０００＝４

2、×５００答：（Ｃ）．＝５×４００＝８×２５０＝１０×２００＝１６×１２５＝２０×１００＝２５×８０＝４０×５０．又ｂ＞ａ且ｂ＋ａ与ｂ－ａ同奇偶，所以只有２×１０００＝４×５００＝８×２５０＝１０×２００＝２０×１００＝４０×５０六组有正整数解．图１图２２．若二次函数ｙ＝ｆ（ｘ）的图像经过原点，且对任意的ｘ∈Ｒ都有ｆ（ｘ＋２）＝ｆ（ｘ）＋ｘ＋２恒成立，则ｆ（ｘ）解如图２，取格点Ｅ，连接ＥＡ、ＥＢ，的解析式为（）．则　∠ＥＡＤ＝∠ＣＤＡ＝４５°，（Ａ）ｆ（ｘ）＝－１２１所以ＡＥ∥ＣＤ．ｘ＋ｘ４２所以　∠ＢＰＤ＝∠ＢＡＥ．（Ｂ）ｆ（ｘ）＝１ｘ２－１ｘ４２易见　∠ＡＥＢ＝９０°，ＡＥ＝槡２，ＡＢ

3、＝槡３４．（Ｃ）ｆ（ｘ）＝－１ｘ２－１ｘ因此ｃｏｓ∠ＢＰＤ＝ＡＥ＝槡２＝槡１７．４２ＡＢ槡１７３４１２１（Ｄ）ｆ（ｘ）＝ｘ＋ｘ烄ｘ２－４ｘ＋３，ｘ≤０，４２４．已知函数ｆ（ｘ）＝烅不等式２，答：（Ｄ）．烆－ｘ－２ｘ－１，ｘ＞０解依题意可设ｆ（ｘ）＝ａｘ２＋ｂｘ，其中ａ、ｂ为常数．ｆ（２ｘ＋ａ）＞ｆ（２ａ－ｘ）在［ａ－１，ａ＋１］上恒成立，则实数因为ｆ（ｘ＋２）＝ｆ（ｘ）＋ｘ＋２，ａ的取值范围是（）．所以ａ（ｘ＋２）２２＋ｂ（ｘ＋２）＝ａｘ＋ｂｘ＋ｘ＋２，３３１（Ａ）（－∞，－）（Ｂ）（－，－）化简得４ａｘ＋４ａ＋２ｂ＝ｘ＋２．２２２１１１烄４ａ＝１，（Ｃ）［－，］（Ｄ）（，＋∞）对比系数

4、可得烅２２２烆４ａ＋２ｂ＝２，答：（Ａ）．于是ａ＝１，ｂ＝１．解由题意可知，函数ｆ（ｘ）在Ｒ上单调递减，要想４２使“不等式ｆ（２ｘ＋ａ）＞ｆ（２ａ－ｘ）在［ａ－１，ａ＋１］上恒成１２１所以ｆ（ｘ）＝ｘ＋ｘ．４２立”，只需ｘ∈［ａ－１，ａ＋１］时，２ｘ＋ａ＜２ａ－ｘ总成立，即网址：ｚｘｓｓ．ｃｂｐｔ．ｃｎｋｉ．ｎｅｔ·３２·电子邮箱：ｚｘｓｓ＠ｃｈｉｎａｊｏｕｒｎａｌ．ｎｅｔ．ｃｎ中学生数学·２０１５年８月上·第５１９期（高中）ａａ３．ｘ＜，于是，只需ａ＋１＜，所以ａ＜－．３３２答：１２．数２５．二次三项式ｆ（ｘ）＝ｘ＋ａｘ＋ｂ具有两个实根ｔ１ｙ４解设ＰＭ＝ｘ，ＭＮ＝ｙ，则＝，和ｔ２，甲将

5、ｆ（ｘ）的一次项系数变为ａ＋ｔ１，将常数项变为５－ｘ５－３学２，构成二次三项式ｆ（ｘ）；乙将ｆ（ｘ）的一次项系数即ｙ＝２（５－ｘ）．ｂ－ｔ１１竞变为ａ－ｔ２，将常数项变为２ｂ，构成二次三项式ｆ２（ｘ）．则长方形ＰＭＮＤ的面积Ｓ（ｘ）＝２ｘ（５－ｘ），（）．所以Ｓ（ｘ）＝－２（ｘ－２．５）２＋１２．５，赛（Ａ）ｆ１（ｘ）具有实根，ｆ２（ｘ）没有实根而ｘ∈［３，５），所以当ｘ＝３时，Ｓ（ｘ）有最大值，之（Ｂ）ｆ１（ｘ）没有实根，ｆ２（ｘ）具有实根ｍａｘ｛Ｓ（ｘ）｝＝Ｓ（３）＝１２．（Ｃ）ｆ１（ｘ）具有实根，ｆ２（ｘ）具有实根窗１２．记２０１５！＝１×２×３×…×２０１５，求＋（Ｄ）ｆ１（ｘ）

6、没有实根，ｆ２（ｘ）没有实根ｌｏｇ２２０１５！答：（Ｃ）．１１＋…＋的值．解根据韦达定理，由ｔ１、ｔ２是二次三项式ｆ（ｘ）＝ｌｏｇ３２０１５！ｌｏｇ２０１５２０１５！２答案：１．ｘ＋ａｘ＋ｂ的两个实根，有ａ＝－ｔ１－ｔ２，ｂ＝ｔ１ｔ２，则２－ｔ２），方程ｆ（ｘ）＝０的判别式１１１ｆ１（ｘ）＝ｘ２ｘ＋（ｔ１ｔ２－ｔ１１解＋＋…＋ｌｏｇ２２０１５！ｌｏｇ３２０１５！ｌｏｇ２０１５２０１５！为Δ＝ｔ２２（２ｔ）２２－４ｔ１ｔ２＋４ｔ１＝１－ｔ２≥０，这意味ｆ１（ｘ）具有＝ｌｏｇ２０１５！２＋ｌｏｇ２０１５！３＋…＋ｌｏｇ２０１５！２０１５实根．而ｆ２（ｘ）＝ｘ２－（ｔ１＋２ｔ２）ｘ＋２ｔ１ｔ２

7、，方程ｆ２（ｘ）＝０＝ｌｏｇ２０１５！２０１５！＝１．的判别式为Δ＝ｔ２２（ｔ）２３．如图４，在△ＡＢＣ中，ＢＣ＝１－４ｔ１ｔ２＋４ｔ２＝１－２ｔ２≥０，这意味着ｆ２（ｘ）具有实根．ａ，ＡＣ＝ｂ，在∠Ｃ的平分线ＣＥ的反１向延长线上取点Ｄ，使得∠ＡＤＢ＝６．已知函数ｆ（ｘ）＝１＋，又ｆ１（ｘ）＝ｆ（ｘ），ｆ２（ｘ）ｘ１∠ＡＣＢ，求线段ＣＤ的长．＝ｆ（ｆ（ｘ）），ｆ３（ｘ）＝ｆ（ｆ（ｆ（ｘ））），则ｆ１（２０１５）·ｆ２（２０１５）·２