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《2015年北京市中学生数学竞赛高一年级初赛试题及参考解答-》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、中学生数学·2015年8月上·第519期(高中)数2015年北京市中学生数学竞赛学高一年级初赛试题及参考解答竞赛一、选择题(满分36分)3.如图1,在4×5的正方形网格中,点A、B、C、D22都是格点,AB与CD相交于点P,则cos∠BPD的值等之1.设集合A={a+2015|a∈N},B={b+15|b∈N},则A∩B中的元素个数为().于().窗(A)6(B)7(C)8(D)9(A)槡13(B)槡15答:(A).1315解由a22+2015=b+15,得1719(C)槡(D)槡22431719b-a=(b+a)(b-a)=2000=2×5.因为2000=1×2000=2×1000=4
2、×500答:(C).=5×400=8×250=10×200=16×125=20×100=25×80=40×50.又b>a且b+a与b-a同奇偶,所以只有2×1000=4×500=8×250=10×200=20×100=40×50六组有正整数解.图1图22.若二次函数y=f(x)的图像经过原点,且对任意的x∈R都有f(x+2)=f(x)+x+2恒成立,则f(x)解如图2,取格点E,连接EA、EB,的解析式为().则 ∠EAD=∠CDA=45°,(A)f(x)=-121所以AE∥CD.x+x42所以 ∠BPD=∠BAE.(B)f(x)=1x2-1x42易见 ∠AEB=90°,AE=槡2,AB
3、=槡34.(C)f(x)=-1x2-1x因此cos∠BPD=AE=槡2=槡17.42AB槡1734121(D)f(x)=x+x烄x2-4x+3,x≤0,424.已知函数f(x)=烅不等式2,答:(D).烆-x-2x-1,x>0解依题意可设f(x)=ax2+bx,其中a、b为常数.f(2x+a)>f(2a-x)在[a-1,a+1]上恒成立,则实数因为f(x+2)=f(x)+x+2,a的取值范围是().所以a(x+2)22+b(x+2)=ax+bx+x+2,331(A)(-∞,-)(B)(-,-)化简得4ax+4a+2b=x+2.222111烄4a=1,(C)[-,](D)(,+∞)对比系数
4、可得烅222烆4a+2b=2,答:(A).于是a=1,b=1.解由题意可知,函数f(x)在R上单调递减,要想42使“不等式f(2x+a)>f(2a-x)在[a-1,a+1]上恒成121所以f(x)=x+x.42立”,只需x∈[a-1,a+1]时,2x+a<2a-x总成立,即网址:zxss.cbpt.cnki.net·32·电子邮箱:zxss@chinajournal.net.cn中学生数学·2015年8月上·第519期(高中)aa3.x<,于是,只需a+1<,所以a<-.332答:12.数25.二次三项式f(x)=x+ax+b具有两个实根t1y4解设PM=x,MN=y,则=,和t2,甲将
5、f(x)的一次项系数变为a+t1,将常数项变为5-x5-3学2,构成二次三项式f(x);乙将f(x)的一次项系数即y=2(5-x).b-t11竞变为a-t2,将常数项变为2b,构成二次三项式f2(x).则长方形PMND的面积S(x)=2x(5-x),().所以S(x)=-2(x-2.5)2+12.5,赛(A)f1(x)具有实根,f2(x)没有实根而x∈[3,5),所以当x=3时,S(x)有最大值,之(B)f1(x)没有实根,f2(x)具有实根max{S(x)}=S(3)=12.(C)f1(x)具有实根,f2(x)具有实根窗12.记2015!=1×2×3×…×2015,求+(D)f1(x)
6、没有实根,f2(x)没有实根log22015!答:(C).11+…+的值.解根据韦达定理,由t1、t2是二次三项式f(x)=log32015!log20152015!2答案:1.x+ax+b的两个实根,有a=-t1-t2,b=t1t2,则2-t2),方程f(x)=0的判别式111f1(x)=x2x+(t1t2-t11解++…+log22015!log32015!log20152015!为Δ=t22(2t)22-4t1t2+4t1=1-t2≥0,这意味f1(x)具有=log2015!2+log2015!3+…+log2015!2015实根.而f2(x)=x2-(t1+2t2)x+2t1t2
7、,方程f2(x)=0=log2015!2015!=1.的判别式为Δ=t22(t)23.如图4,在△ABC中,BC=1-4t1t2+4t2=1-2t2≥0,这意味着f2(x)具有实根.a,AC=b,在∠C的平分线CE的反1向延长线上取点D,使得∠ADB=6.已知函数f(x)=1+,又f1(x)=f(x),f2(x)x1∠ACB,求线段CD的长.=f(f(x)),f3(x)=f(f(f(x))),则f1(2015)·f2(2015)·2
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