2019年北京市高一数学初赛试题解答

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1、2019年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题参考解答（2019年4月7日）选择题答案123456BADCBC填空题答案1234567874037ad6425663[2.625,2.8)450820193一、选择题1．已知集合M=｛2,0,1,9｝，A是M的子集，且A中各元素之和为3的倍数，则满足条件的子集A的个数是（A）8.（B）7.（C）6.（D）5.答：B.解：经枚举，各元素之和为3的倍数的子集有｛0｝，｛9｝，｛2,1｝，｛0,9｝，｛2,0,1｝，｛2,1,9｝，｛2,0,1,9｝共7个．2．如图，∠BAF=∠FEB=∠EBC

2、=∠ECD=90°，∠ABF=30°，∠BFE=45°，∠BCE=60°，AB=2CD．则tan∠CDE等于BC42328652D（A）．（B）．（C）．（D）．A3836答案：选A.FEEC解：因为tan∠CDE=，考虑已知条件，有CDABABBFBEEC2=CDBFBEECCD1=cos30sin60tanCDEsin4533=2tanCDE．22842所以tan∠CDE=．3233．对于无理数e=2.71828182845…，定义函数f(n)=k，定义域是正整数，其中k是e的小数点后第n位的数字，规定

3、f(0)=2，则f(f(f(n)))的值域是（A）｛3,4,6,9｝．（B）｛2,0,1,9｝．（C）｛0,3,5,9｝．（D）｛1,2,7,8｝．2019年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题参考解答共5页第1页答：D．解：易知f(n)的值域为{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，f(f(n))的值域为{1,2,7,8}，f(f(f(n)))的值域是｛1,2,7,8｝．4．在平面直角坐标系中，已知两点A(cos110°,sin110°)，B(cos50°,sin50°)，则由坐标原点O到AB中点M的距离是y123AM（A）．（B

4、）．（C）．（D）1．B2221答：选C．1解：画草图，易知OA=1，OB=1，OxAOB1105060.所以，AOB是正三角形.所以，

5、AB

6、=1．由点O到AB中点M的距离是边长为13的正三角形的高线的长，即等于．25．设[x]表示不超过x的最大整数，则方程2x−2[x]−1=0的根的个数是y（A）4．（B）3．（C）2．（D）1．y答：B．10解：因为方程2x−2[x]−1=0的根的个数等价于函数y=2x−18的图象与函数y=2[x]的图象的交点个数．在同一个平面直角坐6标系中，分别画出函数y=2x−1的图象与函数y=

7、2[x]的图象，4如右图，两函数的图象共有3个交点，所以方程2x−2[x]−1=02有3个根．123456yx6．如图，已知半径分别等于3厘米和5厘米的⊙B，⊙C−2外切于点A．两圆的一条外公切线切⊙B于点D，切⊙C于点E，−4过A作DE的垂线与BC的中垂线交于点F，H是BC的中点．则△AHF的面积等于11131517E（A）．（B）．（C）．（D）．2222D答：C．HC解：如图，连接BD、CE，过B作CE的垂线，垂足为BAM，因为DE是两圆的公切线，D、E是切点，所以BD⊥DE，FCE⊥DE，于是四边形BDEM为矩形，有BM∥DE，B

8、D=EM，2SAHFAHCM=CE−BD=2．易知，△FHA∽△BMC，所以，SCMBCMBAAC又AHBHBABA431.222在Rt△BCM中，根据勾股定理，有BM82215，2019年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题参考解答共5页第2页E1所以，S△CMB=2152215，进而有D2M2H115BACS△AHF=S△CMB×=．22F二、填空题337142852857141．计算=________．337142854285717答：．822(71428528571

9、4)(714285714285285714285714)解1：原式22(714285428571)(714285714285428571428571)2(714285285714)(714285428571285714)2(714285428571)(714285285714428571)D71428528571499999971428577=．7142854285711142856814285783333(1428575)(1428572)521337197解2：原式=．33

10、33(1428575)(1428573)531528198DA2．一个正方体木块ABCD-A31B1C1D1的体积为512cm，如图，MM为棱CB的中点，N为棱BB1的中点.过A，M