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1、2017年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题参考解答（2017年4月9日）选择题答案123456AABDCD填空题答案123456782489.52504101一、选择题1．集合A={2,0,1,7}，B={x
2、x2−2ÎA,x−2ÏA}，则集合B的所有元素之积为（A）36．（B）54．（C）72．（D）108．答：A．解：由x2−2ÎA，可得x2=4，2，3，9，即x=±2，±，±，±3．又因为x−2ÏA，所以x¹2，x¹3，故x=−2，±，±，−3．因此，集合B={−2,−,,−,，−3}．所以，集合B的所有元素的乘积等于(−2)(−)()(−)()(−3)=
3、36．2．已知锐角△ABC的顶点A到它的垂心与外心的距离相等，则tan()=（A）．（B）．（C）1．（D）．答：A．ABCDOHKE解：作锐角△ABC的外接圆，这个圆的圆心O在形内，高AD，CE相交于点H，锐角△ABC的垂心H也在形内．连接BO交⊙O于K，BK为的直径.连接AK，CK．因为AD，CE是△ABC的高，∠KAB，∠KCB是直径BK上的圆周角，所以∠KAB=∠KCB=90°．于是KA//CE，KC//AD，因此AKCH是平行四边形．所以KC=AH=AO=BK．2017年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题参考解答第7页共6页在直角△KCB中，由KC=BK
4、，得∠BKC=60°，所以∠BAC=∠BKC=60°．故tan()=tan30°=．3．将正奇数的集合{1,3,5,7,…}从小到大按第n组2n−1个数进行分组：{1}，{3,5,7}，{9,11,13,15,17}，…，数2017位于第k组中，则k为（A）31．（B）32．（C）33．（D）34．答：B.解：数2017是数列an=2n−1的第1009项．设2017位于第k组，则1+3+5+…+(2k−1)≥1009，且1+3+5+…+(2k−3)＜1009．即k是不等式组的正整数解，解得k=32，所以2017在第32组中．ABOyxy=4．如图，平面直角坐标系x-O
5、-y中，A,B是函数y=在第I象限的图象上两点，满足∠OAB=90°且AO=AB，则等腰直角△OAB的面积等于（A）．（B）．（C）．（D）．答：D．ABOyxy=DC解：依题意，∠OAB=90°且AO=AB，∠AOB=∠ABO=45°．过点A做y轴垂线交y轴于点C，过点B做y轴平行线，交直线CA于点D．易见△COA≌△DAB．设点A(a,)，则点B(a+,−a)．因为点B在函数y=的图象上，所以(a+)(−a)=1，即−a2=1．因此S△ABC=OA2=(+a2)=．5．已知f(x)=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5，且当m=1,2,3,4时，f(m
6、)=2017m，则f(10)−f(−5)=（A）71655．（B）75156．（C）75615．（D）76515．答：C．解：因为当m=1,2,3,4时，f(m)=2017m，所以1,2,3,4是方程f(x)−2017x=0的四个实根，由于5次多项式f(x)−2017x有5个根，设第5个根为p，则f(x)−2017x=(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)(x−p)2017年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题参考解答第7页共6页即f(x)=(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)(x−p)+2017x．所以f(10)=9×8×7×6(10−p)+2017×10，
7、f(−5)=−6×7×8×9(5+p)−2017×5，因此f(10)−f(−5)=15(9×8×7×6+2017)=75615．6．已知函数若存在实数m，使得关于x的方程f(x)=m有四个不同的实根，则a的取值范围是（A）．（B）．（C）．（D）．答：D．解：要使方程f(x)=m有四个不同的实根，必须使得y=m的图像与y=f(x)的图像有4个不同的交点．而直线与y=
8、x
9、的图像及二次函数的图像交点都是最多为两个，所以y=m与函数y=
10、x
11、,x≤a的图像和y=x2−4ax+2a,x＞a的图像的交点分别都是2个．而存在实数m，使y=m与y=
12、x
13、,x≤a的图像有两个交点，
14、需要a＞0，此时0＜m≤a；又因为y=x2−4ax+2a,x＞a顶点的纵坐标为，所以，要y=m与y=x2−4ax+2a,x＞a的图像有两个交点，需要m＞．因此y=m的图像与y=f(x)的图像有4个不同的交点需要满足：0＜m≤a且m＞，解得．二、填空题1.用[x]表示不超过x的最大整数，设，求的值．答：24．解：因为12≤1,2,3＜22，所以1≤,,＜2，因此，共3个1；同理，22≤4,5,6,7,8＜32，因此，，共5个2；又32≤9,10,11,12,13,14,15＜42，因此，共7个3；依次类推，，共9个4；，共11个5；，共13个6；201
