北京市中学生数学竞赛高一级复赛试题及解答.doc

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1、2010年北京市中学生数学竞赛高一年级复赛试卷及参考解答2010年5月16日8:30～10:30.一、填空题（满分40分，每小题8分，将答案写在下面相应的空格中）小题号12345答案201451.函数是定义在R上的周期为3的函数,右图中表示的是该函数在区间上的图像.则的值等于.答:.理由:则2.方程的所有根的立方和等于.答:.解:方程等价于………①与……②由①得：，由②得：，所以所以.所以.6/63.如右图,AB与⊙O切于点A.连接B与⊙O内一点D的线段交圆于点C.并且AB=6，DC=CB=3，OD=2，则⊙O的半径等于.答：解:延长BD交圆于E，延长OD交圆于F，G（如左图）

2、.FG是⊙O的直径.设⊙O的半径为r，由切割线定理，有即所以DE=6.由相交弦定理可得即所以解得.4．满足方程的函数.答：解：取x=1和x=0代入方程，得，进而得于是经检验，所求的函数满足方程.5．若一个自然数比它的数字和恰好大2007,这样的自然数叫做“好数”,则所有“好数”的和等于.答:20145.解：设其中是自然数n的数字和.则函数是非严格的增函数.所以满足条件的所有自然数只有10个：2010，2011，2012，2013，2014，2015，2016，2017，2018，2019．其和为2010+2011+2012+2013+2014+2015+2016+2017+20

3、18+2019=20145.二、（满分15分）如图,四个阴影三角形的面积都等于1（1）求证:；（2）求证:；（3）求的值.6/6解答：（1）设，连接AB2，则连接B1C2，CA2，则B1C2//CA2，所以由所以同理，设设因此，得（2）由上所证，易知也就是所以.同理由BA2=B1A2可证得因此（3）由即这样由解得（负根舍去！）.所以因此三、（满分15分）能否将2010写成k个互不相等的质数的平方和?如果能,请确定出所有的k值，并对相应的k值各写出一个例子。如果不能,请简述理由.解：（1）设为质数，若2010能写成k个质数的平方和，则当时,取最小的10个互不相等的质数的平方和,则

4、4+9+25+49+121+169+289+361+529+841=2397>2010，因此（2）因为只有一个偶质数2，其余质数都是奇数，而奇数的平方仍是奇数，并且被8除余1.所以若时，则2010=，则都是奇数.6/6若，左边2010被8除余2.当k=4时，右边被8除余4；当k=6时，右边被8除余6；当k=8时，右边被8除余0；这3种情况等式都不能成立.当k=2时，由于质数中只有32被3除余0,而其余所有质数的平方都被3除余1.因此，两个不同质数的平方之和被3除余1或余2,而2010被3除余0.所以，2010不能表为2个互不相等的质数的平方和.因此，当时，2010都不能表示为2

5、个、4个、6个、8个质数的平方之和.（3）对时，k=1时，2010显然不是一个质数的平方.k=3时，若2010=其中必有一个偶质数的平方，两个奇质数的平方.左边被8除余2，右边被8除余6，等式不能成立.k=5时，若2010=其中必有一个偶质数的平方，4个奇质数的平方.左边被8除余2，右边被8除余0，等式不能成立.k=9时，若2010=，其中必有一个偶质数的平方，两个奇质数的平方.左边被8除余2，右边被8除余4，等式不能成立.只有k=7时，2010=，左边被8除余2，右边被8除余2，等式可能成立.我们试算可知，，因此，2010只可以表示为7个不同质数的平方和.唯一地k=7,其例如

6、上.四、（满分15分）已知平面上9个点，任两点间的距离都不小于1.证明，其中至少存在两个点间的距离不小于证明：设已知的9个点的集合记为S.则在平面上可画一直线l，使S在l同一侧.平移直线l，直到遇到S中的点O为止.这时，S中的点在直线l上或l的同一侧.以O为圆心1为半径画圆与直线l交成半圆区域P，再以O为圆心为半径画半圆，如图所示，与直线l和前面画的半圆（O，1）交成半圆环Q.我们看到，已知9个点中一个点为O，其余8个点不能在半圆区域P中，我们证明，这8个点中至少有一个点不在半圆环Q中.6/6事实上，我们以O为始点作射线，将半圆环Q等分为圆心角为的7个相等的小区域，如图记为Q1

7、，Q2，Q3，Q4，Q5，Q6，Q7，我们估计中两点间的距离（）.半圆环宽度；且（因为）可见，每个中任两点间的距离都小于1.所以每个中至多分布S的前述8个点中的1个点.因此，前述8个点中至少有一点A要分布在半圆（）之外.因此五、（满分15分）已知如图，凸四边形ABCD的对角线交点为O.O1，O2，O3，O4分别为△AOB，△BOC，△COD，△DOA的内切圆圆心，对应的内切圆半径r1，r2，r3，r4满足关系式求证：（1）四边形ABCD存在内切圆；（2）O1，O2，O3，O4四点共圆.证明：