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1、2009北京市高一数学竞赛复赛试题2009.5.10一、填空题（满分40分，每小题答对得8分）题号12345答案1.已知单位向量a、b,向量c=a+2b,d=5a-4b,c⊥d.求:.2.求值:+.3.已知AO交圆O于点C,AB切圆O于点B,M为弧BC中点.且AB=4,AC=4.求:S阴影AMC.4.求值:+5.在坐标平面内,对任意非零实数m,求抛物线y=mx2+(2m+1)x-(3m+2)上都不通过直线y=-x+1的点坐标.二.（满分15分）已知:RTDABC内切圆半径为r,直角平分线长为t.求证:直角边a、b为关于x的二次方程(t-2r)
2、x2+2r2x-2tr2=0的两个根.三.（满分15分）已知函数f(x):Z+®Z+满足：(1)f(1)=1;(2)f(x+y)=f(x)+f(y)+xy.求:函数f(x)解析式.四.（满分15分）如图.ABCD中,AF为ÐBAD的平分线,交DC于点F.,交BC延长线于点F,DECF的外接圆为圆O,圆O交DBCD外接圆于点K.求证:(1)点O在DBCD外接圆上;(2)ÐAKC=90°.五.(满分15分)任意给定的7个实数,求证:必有两个实数x、y，使得0≤≤.[写背面]2009北京市高一数学竞赛复赛试题参考解答2009.5.10一.填空题（满分40分，
3、每小题答对得8分）题号12345答案8-4(-3,4),(1,0),(1.5,-0.5)1.已知单位向量a、b,向量c=a+2b,d=5a-4b,c⊥d.求:.[分析]:∵
4、a
5、=
6、b
7、=1∴c⊥dÛ0=c·d=(a+2b)(5a-4b)=5-8+6a·b=6´1´1´cos-3∴cos=∴=.2.求值:+.[分析]:原式=-=====.3.已知AO交圆O于点C,AB切圆O于点B,M为弧BC中点.且AB=4,AC=4.求:S阴影AMC.[分析]:连接MB，作MN⊥OB于点N,设半径为r易知RT⊿ABO中,r2+A
8、B2=(r+AC)2∴r2+48=(r+4)2解得:r=4=OM=OB=OC∴∠BOA=60°,∠BOM=∠COM=∴ON=OMcos=2,NM=2,BN=4-2,∴S阴影AMC.=SDA0B-SDAMB-SDM0B–S扇形M0C=8-2(4-2)-4-=8-4.求值:+[分析]:原式=+=(2-)+(2+)=45.在坐标平面内,对任意非零实数m,求抛物线y=mx2+(2m+1)x-(3m+2)上都不通过直线y=-x+1的点坐标.[分析]:关于x的方程mx2+(2m+1)x-(3m+2)=-x+1对任意非零实数m均为矛盾等式整理:m(x2+2x-3)=
9、3-2x,故x=,-1或-3满足条件.对应点坐标为(-3,4),(1,0),(,-)二.（满分15分）已知:RTDABC内切圆半径为r,直角平分线长为t.求证:直角边a、b为关于x的二次方程(t-2r)x2+2r2x-2tr2=0的两个根.证明:易由知S⊿ABC=S⊿ABO+S⊿ACO+S⊿BCO得:ab=r(a+b+)∴r==另一方面由角平分线定理:=∴=∴AD=又∠ACD=45°,sinA=∴⊿ACD中由正弦定理:CD====t方程中取x=a,则:(t-2r)x2+2r2x-2tr2=[-(a+b-)]a2+2r2(a-)=a2·+2a·(1-)=
10、a2·+a2·=a2·+a2·=a2·+a2·=0∴x=a为原方程的根.同法可计算得x=b也为原方程的根.原命题得证.三.（满分15分）已知函数f(x):Z+®Z+满足：(1)f(1)=1;(2)f(x+y)=f(x)+f(y)+xy.求:函数f(x)解析式.解:令y=1,则对任意xÎN*,均有:f(x+1)=f(x)+1+x当x≥2时,f(x)=f(x-1)+x,f(x-1)=f(x-2)+(x-1),…,f(2)=f(1)+2上述x-1个式子相加:f(x)=x+(x-1)+…+2+f(1)=x+(x-1)+…+2+1=而x=1时,上式使用.故对任意
11、xÎN*,有f(x)=.四.（满分15分）如图.ABCD中,AF为ÐBAD的平分线,交BC于点E,交DC延长线于点F.DECF的外接圆为⊙O,⊙O交DBCD外接圆于点K.求证:(1)点O在DBCD外接圆上;(2)ÐAKC=90°.证明:(1)设DBCD外接圆圆心为点Q取∠FCD的平分线交⊙Q于点O1下证O1即为DECF外接圆圆心连接O1E、O1C、O1F.先证O1E=O1C取∠BCD的平分线交⊙Q于点P,则ÐQ1CP=90°,弧DP=弧BP.连接O1P,则O1P为⊙Q直径,故为O1P垂直平分弦BD∴DO1=BO1,又ÐO1DE=ÐO1BC易证:EC=F
12、C,AB=FB∴DE=DC-EC=AB-FC=BF-FC=BC∴⊿O1DE≌⊿O1BC∴O1E
