2008年北京市中学生数学竞赛复赛(高一)

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1、万方数据2∞9年第4期2008年北京市中学生数学竞赛复赛(高一)一、填空题(每小题8分，共40分)1．在Jp(1，1)、Q(1，2)、肘(2，3)、，v(吉，{)四个点中，能成为函数，，=口。的图像与其反函数的图像的公共点的只可能是2．如图三荛麓三[边形彻cD．{是一张长方形纸片，图l将加、曰c折起，使A、口两点重合于边cD上的点P，然后压平得折痕EF、GH．若咫=2，PG=l，EG=打，则长方形纸片彻CD的面积为——．3．二次函数以菇)满足。以一10)=9，∥一6)=7，以2)=一9．则八2008)=——．烹望坚：兜：J=。·掣图2阴影部分的曲边⋯三角形的面积是——．5．对任意正实数石，用尸

2、(戈)表示10＆互的整数部分．则F(1)+，(2)+⋯+F(1023)=——·二、(15分)证明：删=而=√字+哥=7故印+肌的最小值为7．8．在条件等式两边都乘以4，有4戈4+4x3+4算2+4戈=4’，2+4，，．配方变形得4戈4+4并3+4戈2+4戈+l：(2y+1)2．注意到(2石2+石)2=4戈4+4戈3+z2和(2x2+x+1)2=4≯+4x3+5咒2+2茁+1是两个相邻的平方数，并且2算2+菇=2(并+{)2一{作为实值函数其最小整数值等于0．从而，在石取整数值条件下12石2+zl≤I2茗2+茗+lI．故只有两种情况．(1)(2y+1)2=4x4+4名3+4石2+4算+l≤424

3、+423+茁2．(2)(2'，+1)2=4』4+4名3+4彳2+4算+l≥424+4戈3+5石2+2名+1．若(1)成立，则322+4x+l≤o，一l≤x≤一吉，工：一1．于是，(2，+1)2=1，有，，=O或)，=一1，得解(一1，0)，(一l，一1)．若(2)成立，则石2—2石≤0．0≤x≤2．故算=0，l，2．当工=O时，'，=一1或0，从而有解(0，0)，(0，一1)．当茗=】时，，，2+，，一4=0，，，无整数解．当x=2时，)，2+)，一30=0，)，=一6或5．有解(2，一6)，(2，5)．综上，满足条件的解是(，1，0)，(一l，一1)，(0，O)，(0，一1)，(2，一6)，

4、(2，5)．(张同君提供)万方数据中等数学tan3一啪2一tan·+tan{一tar-{一协吉=锄3·t锄2·t鲫-÷t锄吉·t锄{·咖丢三、(15分)如图3，佃是已知圆的一条弦，它将圆分成两部分，肘、ⅣA分别是两段弧的中点，以点曰为旋转中心，将弓形肼日顺时针转一个角度成弓形A。伽，MIⅣ图3的中点为P．求证：胛上ⅣP．四、(15分)定义在区间[0，1]上的函数八z)满足八o)=八1)=o，且对任意的石。、并：∈[O，1]都有爿旦毒丝)≤∥并。)+八z：)．(1)证明：对任意的x∈[0，1]，都有“戈)≥o；(2)求“导)的值；(3)计算“丢)+，(丢)+⋯+厂(毒)+⋯+“毒)．五、(15分

5、)北京市中学有m(m>2)名中学生为“北京奥运会”共提交了n条不同的建议．已知其中任两名学生提交的建议中至少有一条建议是相同的，也至少有一条建议是不同的．求证：提交建议的学生数m不超过2”1．参考答案一山Ⅳ(丢，去)2．拈+学3．堋031．54．簪5．8194二、l、2、3弧度都不等于号+凡7c(n∈Z)．则t柚l、t柚2、tan3都有意义，且即taInl’tanZ严l=争l一啪l。ta_nZ：尹U．由l+2=3，得t帅(1+2)=t卸3，即#掣去罂三：协3．r五iF面忑2tanj’故laIll+tan2=tan3一taII1．tan2·tan3=争L￡m3一tan2一km1=tan3·lan

6、2·tan1．①同理，由于o<吉<吉<专<号，则ojZ珥tan吉·tan吉≠t与·一t锄{·t觚吉≠o．由丢+{=吉，得tan(吉+{)=tan丢，等』tan吉．·一tan吉·tan号～2‘故锄吉+啪{=tan丢一tan丢·tan吾·tan吉2咖虿一啪i。啪了。胁百l1j啪i一啪了一啪i=tan吾·tan喜·tan吉．②①+②得协3一伽2一胁t+t觚告一胁{一t趴告=协3·tan2·胁-+tan{·tan{·tan吉．三、如图4，取AB的中点c，A．曰的中点C．，易知A．曰=A曰，于是，一lCl=AC．联结鹏．、^℃．则们。上A。B，NCLAB．在未旋转时，c】N图4与C是同一点，删是万方数据

7、2009年第4期垂直于佃的直径．由相交弦定理得Mct·NC=AC·cB=ACz．联结Pc、阳。．则Pc．些Ac，Pc些A．c．，么4IClJP=么CIPc=么』4CP．故脱。·cⅣ=昭J·Pc，即们IPe。7百5丽。又么们IP=900+么AlClP，：90。+2AcP：么脚，所以，△们．P∽△PC～，有么MPc。=么PNc．设刚交A层于K．则么C，PⅣ=么繇，Ⅳ．南女[MPN=么MPC。+[ClP