2009年北京市中学生数学竞赛复赛(高一)

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1、万方数据28中等数学2009年北京市中学生数学竞赛复赛(高一)中图分类号：6424．79文献标识码：A文章编号：1005-6416(2010)05—0028—03一、填空题(每小题8分，共40分)1．已知口和b都是单位向量，并且向量c=口+2b与d=5a一4b互相垂直．则口和b的夹角<口，6>=一2·面1+志的值是一·3．如图1，过OD外一点肘引圆的切线切00于点日，联结MO交O0于点A，已知MA=4，MB=4√3，N为图1弧A日的中点．则曲边三角形(阴影部分)的面积等于一4．花而+扼而的值是5．在平面直角坐标系中，不论m取何值时，抛物线Y=似2+(2m+1)菇一(3

2、m+2)都不通过的直线Y=一菇+l上的点的坐标是——(写出全部符合条件点的坐标)．二、(15分)Rt／xABC内切圆的半径为，，直角的角平分线的长为t．求证：Rt△ABC的两条直角边的长a,b是关于菇的一元二次方程(t一2厄r)x2+2∥茗一2tr2=o的根．三、(15分)求函数^N+_N+，使得(1状1)=l；(2)对于所有的x,y∈N+，火石+y)=“菇)+八)，)+形都成立．四、(15分)如图2，在口ABCD中，么BAD的平分线与BC交于点肘、与DC的延长线交于氮N。△CMN的外接圆O0。与△CBD的外接圆的另一交点为K证明：图2(1)点0在△CBD的外接圆上；

3、(2)么AKC=90。．。五、(15分)证明：在任意给出的七个实数中，一定能找到两个实数x,y，使得o≤焉≤字．参考答案一、1．要．设4和西的夹角<口，西>=良则根据向量垂直的条件得0=c·d=(口+2b)·(5a-4b)：5口2+lOa．b一4a．b一8b2=5+6cos0—8=6cos9—3．由此c。s8=虿1．所以，p=詈．2．华．1面+瓦面1C0$70。ff3"sin700’万方数据2010年第5期√3sin70。一C0870043sin700·COS700sin70。·COS300—C08700·sin300==————’’。————————————————

4、——————————-——————————————————一序华sin140。一4sin(70。-30。)业√亨sin40。3’3．8一擎．根据条件，延长MO交o0于点C设00的半径为r．则MC=4+2r．由切割线定理得MB2=MA·MC，即48=4(4+2r)．解得r=4．所以．OC=OA=AM=4．联结OB．在Rt／kOBM中，sinLMOB=器=竽=巫2j么MOB=600．因此，弧AB的度数为600，而Ⅳ为弧AB的中点，则弧AN的度数为30。．联结ON．则么MON=30。．从而，s伽『v=+OM·ONsin30。=寻×8×4×寻：8．而扇形AON的面积为州2×器

5、=警．故阴影图形的面积为8一竽．4．4．设花而+以而：髫．两边立方并整理得戈3—6石一40：0．观察知，4是方程的一个根．所以，(茗一4)(石2+4x+10)=O．由△=42—4×10=一24<0，知方程茗2+4x+10=0无实根．故方程菇3—6x一40=0只有唯一的实根茗=4．5．(1'0)’(-3'4)，(吾，一÷)．由Y=，n髫2+(2，n+1)髫一(3m+2)=，扎(戈+3)(髫一1)+(算一2)可知，抛物线一定过点A(1，一1)、B(一3，一5)．过点A、B分别作Y轴的平行线交直线Y=一髫+1于点C(1，0)、D(一3，4)．过点A、B的直线与y=一戈+1交

6、于点E㈢一÷)．则C、D、E三点满足条件．二、如图3，设Rt／kABC中，么C=900，AB=c．AC=b．CB=a，内切圆的圆心为0．A联结OA、OB．则图3s伽。=寻口6．，又Smc=s撇+s盟Dc=÷‰in45。+÷蒯n45。=譬如+6)．故口6：i1￡(口+6)．√2而

7、s△4舱=S△唧+S△删c+S△伽=：1-r(口+6+c)=寻r(口+6+口+6—2r)=r(a+b—r)=(a+b)r—r2．与式①比较得ab=2(a+b)r一2，2，联寺式⑦、⑧得①②③万方数据中等数学口+6：学，把罢L．2√2，一t2√2r—t据韦达定理知，以口、b为根的一元二次，方程为

8、茹：一罂+雩L：0，茹一——=■—1+——=■一=，242r—t2√2r—t即(t一24Er)x2+2厄r2髫一2tr2=0．三、设函数f：N+_+N+满足题设条件．对于正整数n．k有八(k+1)n)=八kn)+八n)+kn2．令k=1，2，⋯，m一1并相加得以mn)=，吲^(n)+[1+2+⋯+(，n-1)]rt2：坝凡)+亟号半凡z，．，对所有的正整数m、n都成立．特别地，当n=1时，以m)：亟掣业．①式①定义了在正整数集合上的函数，经检验，，(m)：旦掣是问题的唯一解．四、(1)如图4，由题设知[BMA=么MAD=么BA胍因此，BA=BM．同理