2013年北京市高一数学竞赛复赛试题及解答

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1、2013年北京市中学生数学竞赛高一年级复赛试题及解答2013年5月12日9:00～11:00一、填空题（满分40分，每小题8分，将答案写在下面相应的空格中）题号1234546⎧⎪1−51+5⎫⎪答案Φ17224−2772⎨,1,⎬3⎪⎩22⎪⎭1．方程x4+y4+z4−2x2y2−2y2z2−2z2x2=24的全部整数解(x,y,z)的集合是．答：Φ．解：因为x4+y4+z4−2x2y2−2y2z2−2z2x2=(x2−y2−z2)2−4z2x2=(x2−y2−z2+2zx)(x2−y2−z2−2zx)=(x+y−z)(x−y+z)(x+y+z)(

2、x−y−z)所以原方程等价于(x+y−z)(x−y+z)(x+y+z)(x−y−z)=24．若方程有整数解(x,y,z)，则x+y−z、x−y+z、x+y+z、x−y−z均为整数，其乘积等于偶数24，因此x+y−z、x−y+z、x+y+z、x−y−z中至少有一个为偶数．而x+y−z、x−y+z、x+y+z、x−y−z同奇偶，所以它们都是偶数．因此，方程左边被16整除，而右边的24不被16整除，矛盾！所以方程有整数解(x,y,z)的假设不成立，即方程无整数解，也就是方程x4+y4+z4−2x2y2−2y2z2−2z2x2=24的全部整数解(x,y,z

3、)的集合是Φ．2．如右图，菱形ABCD的顶点D、C在直线y=x上，且顶点yy=xA、B在曲线y=x2上，DA平行于y轴，则菱形ABCD的面积Cy=x2=．DBA答：172−24．Ox解：设A(a,a2),B(b,b2),C(b,b),D(a,a)，22b−a因为AB//CD，所以=1，即a+b=1．ba−22又DC=AD，所以2(ba−)=−aa，则2(12)−a=−aa.2即a−(221)+a+2=0，解得a=21−，（另一根2+2舍！）因此b=−=−1a1(21)−=−22．S2)(b−a)=17224−．ABCD=(a−a3．函数f：N→N，

4、使对一切n∈N，有f(f(n))+f(n)=2n+3，且f(0)=1，则f(6)(7)(8)(9)(10)ffff的值等于．f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)答：2772.解：以n=0代入f(f(n))+f(n)=2n+3（*）2013年北京市中学生数学竞赛高一年级复赛试题及解答1共4页第1页得f(f(0))+f(0)=2×0+3，得f(1)+1=3，即f(1)=2．进一步，令n=1，由（*）式得f(2)=3，同理得f(n)=n+1，n=3,4,5,6,7,8,9,10，f(6)(7)(8)(9)(10)ffff所以=2772．f(1

5、)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)4．如右图，在△ABC中，∠B=60°，∠ACB=75°，点D是BCA边上的动点，以AD为直径作⊙O分别交AB、AC于点E、F，若弦EF长度的最小值为2，此时AB的长为．•O46答：．EF3BCD解：连结OE、OF，∵∠B=60°，∠ACB=75°，∴∠BAC=45°，∴∠EOF=2∠BAC=90°，∴EF=2OE∵EF的最小值为2，∴OE的最小值为2∴AD的最小值为22，而AD⊥BC时，AD达到最小，AD2246∴当EF的最小值为2时，AB===．�sin603325．实数a,b,c满足a+b+c=2，a

6、b+bc+ca=0，且abc=−1，则以实数a,b,c的数值为元素的集合是．⎧⎪1−51+5⎫⎪答：⎨,1,⎬．⎪⎩22⎪⎭1解：由a+b+c=2，ab+bc+ca=0，且abc=−1，即a+b=2−c，ab+c(a+b)=0，ab=−，c11±5+c(2−c)=0，也就是c3−2c2+1=0，即(c=1)(c2−c−1)=0，解c2−c−1=0得c得−1,2=．c2由于条件的轮换对称性，可知满足a+b+c=2，ab+bc+ca=0，且abc=−1的实数集合⎧⎪1−51+5⎫⎪是⎨,1,⎬．⎪⎩22⎪⎭二、（满分15分）二次方程ax2+bx+c=0

7、的根是二次方程cx2+dx+a=0的根的2013倍，求证：b2=d2．证明：由ax2+bx+c=0和cx2+dx+a=0都是二次方程，所以a≠0，c≠0．2+dx+a=0的根，依题意2013x2设x1、x2是cx1、2013x2是二次方程ax+bx+c=0的根，根据韦达定理，有2013年北京市中学生数学竞赛高一年级复赛试题及解答2共4页第2页dabcx+x=−，xx=；2013x1+2013x2=−，2013x1·2013x2=．1212ccaa2013db即=，①ca22013ac=，②ca2222c2dc由②得2013=，由①得2013×=，2

8、22aba所以b2=d2．三、（满分15分）（1）一个正整数如果能表示为若干个正整数平方的算术平均值，就称这个正整数为“好